Куча (структура данных)

Пример полной двоичной кучи

Ку́ча (англ. heap) в программировании — специализированная структура данных типа дерева, которая удовлетворяет свойству кучи: если $B$ является узлом-потомком узла $A$, то $k(A)\geqslant k(B)$, где $k(X)$ — ключ (идентификатор) узла. Из этого следует, что элемент с наибольшим значением ключа всегда является корневым узлом кучи, поэтому иногда такие кучи называют max-кучами (в качестве альтернативы, если сравнение перевернуть, то наименьший элемент будет всегда корневым узлом, такие кучи называют min-кучами). Не существует никаких ограничений относительно того, сколько узлов-потомков имеет каждый узел кучи, хотя на практике их число обычно не более двух. Куча является максимально эффективной реализацией абстрактного типа данных, который называется очередью с приоритетом. Кучи имеют решающее значение в некоторых эффективных алгоритмах на графах, таких, как алгоритм Дейкстры на d-кучах и сортировка методом пирамиды.

В ранних реализациях Лиспа обеспечивалось динамическое распределение памяти с использованием кучи как структуры данных, впоследствии всякую динамически распределяемую память стали называть «кучей» (хотя она не обязательно использует соответствующую структуру).

Кучи обычно реализуются в виде массивов, что исключает наличие указателей между её элементами.

Над кучами обычно проводятся следующие операции:

• найти максимум или найти минимум: найти максимальный элемент в max-куче или минимальный элемент в min-куче, соответственно
• удалить максимум или удалить минимум: удалить корневой узел в max- или min-куче, соответственно
• увеличить ключ или уменьшить ключ: обновить ключ в max- или min-куче, соответственно
• добавить: добавление нового ключа в кучу.
• слияние: соединение двух куч с целью создания новой кучи, содержащей все элементы обеих исходных.

Варианты

В зависимости от ограничений на структуры используются различные варианты куч, некоторые их них:

• 2-3-куча
• Двуродительская куча
• Двоичная куча
• Биномиальная куча
• Очередь Бродала (очередь с параллельным приоритетом)
• Куча с D потомками
• Фибоначчиева куча
• Куча с приоритетом самого левого
• Спаренная куча
• Асимметричная куча
• Мягкая куча
• Тернарная куча
• Декартово дерево

Различные варианты демонстрируют различную временну́ю сложность вычислений для различных операций (имена операций в нотации для min-кучи):

Операция	Двоичная	Биномиальная	Фибоначчиева	Спаренная	Бродала
найти минимум	$\Theta (1)$	$\Theta (\log n)$ или $\Theta (1)$	$\Theta (1)$	$\Theta (1)$	$\Theta (1)$
удалить минимум	$\Theta (\log n)$	$\Theta (\log n)$	$O(\log n)$*	$O(\log n)$*	$O(\log n)$
добавить	$\Theta (\log n)$	$O(\log n)$	$\Theta (1)$	$O(1)$*	$\Theta (1)$
уменьшить ключ	$\Theta (\log n)$	$\Theta (\log n)$	$\Theta (1)$*	$O(\log n)$*	$\Theta (1)$
слияние	$\Theta (n)$	$O(\log n)$**	$\Theta (1)$	$O(1)$*	$\Theta (1)$

(*) Амортизационное время — оценка сделана методом амортизационного анализа (по наихудшему времени), в остальных случаях оценка является регулярным худшим случаем.

(**) $n$ — размер наибольшей кучи

Здесь $O(F)$ даёт асимптотическую верхнюю границу, а $\Theta (F)$ является асимптотически точной оценкой (в соответствии с нотацией «O» большое и «o» малое).

Применение

Структуры данных типа кучи имеют множество применений.

Пирамидальная сортировка: один из лучших применяемых методов сортировки, не имеющий квадратичных наихудших сценариев.

Алгоритмы поиска: при использовании кучи поиск минимума, максимума, того и другого, медианы или k-го наибольшего элемента может быть сделан за линейное время (часто даже за константное время).

Алгоритмы на графах: применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. Примерами таких проблем являются алгоритм построения минимального остовного дерева Прима и проблема кратчайшего пути Дейкстры.

Полная и почти полная бинарная куча может быть представлена очень эффективным способом с помощью индексного массива. Первый (или последний) элемент будет содержать корень. Следующие два элемента массива содержат узлы-потомки корня. Следующие четыре элемента содержат четверых потомков от двух узлов — потомков корня, и так далее. Таким образом, потомки узла уровня n будут расположены на позициях 2n и 2n+1 для массива, индексируемого с единицы, или на позициях 2n+1 и 2n+2 для массива, индексируемого с нуля. Это позволяет перемещаться вверх или вниз по дереву, выполняя простые вычисления индекса массива. Балансировка кучи делается перестановкой элементов, которые нарушают порядок. Поскольку мы можем построить кучу с помощью массива без дополнительной памяти (для узлов, например), то можно использовать пирамидальную сортировку для сортировки массива прямо на месте.

Реализации

Стандартная библиотека шаблонов языка C++ предоставляет шаблоны функций для управления кучей make_heap, push_heap и pop_heap (обычно реализуются бинарные кучи), которые оперируют с итераторами произвольного доступа. Методы используют итераторы как ссылки на массивы и выполняют преобразование массив-куча.

Набор шаблонов Java платформы Java 2 (начиная с версии 1.5) предоставляет реализацию бинарной кучи в классе java.util.PriorityQueue<E>.

Python имеет модуль heapq, который реализует очереди с приоритетами с помощью бинарной кучи.

Начиная с версии 5.3 PHP в стандартной библиотеке имеются методы maxheap (SplMaxHeap) и minheap (SplMinHeap).

В Perl имеются реализации бинарной, биномиальной и фибоначчиевой кучи во всеобъемлющей сети архивов.