Концептуальные программы в физике

Концептуальные программы в физике — принятые в физике наиболее общие математические модели. Различные области физики имеют различные программы для моделирования состояний физических систем.

Классическая механика

Для простого случая одиночной частицы с массой m, движущейся вдоль одного измерения x и действующей на неё силой $F_{i}$, программа классической механики состоит в том, чтобы определить состояние $x:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ путём решения уравнения второго закона Ньютона,

$m\,x''(t)=\sum _{i}F_{i}$,

для $x(t)$ задаются начальные условия как для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, обычно $x(0),x'(0)\in \mathbb {R}$. Если силы консервативные, второй закон Ньютона принимает вид:

$m\,x''(t)=\sum _{i}-{\frac {\mathrm {d} U_{i}(x)}{\mathrm {d} x}}$.

В 3 пространственных измерениях, состояние $\mathbf {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}$ определяется путём решения уравнения второго закона Ньютона,

$m\,\mathbf {x} ''(t)=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}$,

для $\mathbf {x} (t)$ с соответствующими начальными условиями, обычно $\mathbf {x} (0),\mathbf {x} '(0)\in \mathbb {R} ^{3}$. Для системы из N частиц, закон Ньютона применим к каждой частице, ограничивая её общее состояние

$\mathbf {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3N}$.

Точные решения существуют для многих важных систем. Для других систем применяют численные методы. Например, они были применены к большим системам, включая формирование Солнечной системы и планетарные атмосферы.

Другие формулировки

В лагранжевой механике для той же системы состояние $\mathbf {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3N}$ удовлетворяет принципу Гамильтона ${\frac {\delta S}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0$ где действие функционала определяется как

$S[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,\mathrm {d} t$.

В гамильтоновой механике с каноническими координатами $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ и гамильтоновой функцией ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ состояние $\mathbf {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3N}$ определяется решением

$\mathbf {q} '(t)={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\quad ,\quad \mathbf {p} '(t)=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}$.

Квантовая механика

Для одной частицы с массой m, двигающейся вдоль оси x, под действием скалярного потенциала$U(x,t)$, программа квантовой механики заключается в определении волновой функции $\psi :\mathbb {R} \to L_{2}(\mathbb {R} ^{1},\mathbb {C} )$ где $\psi (x,t)$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера,

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+U(x,t)\right]\psi (x,t)$

с учётом конкретных начальных условий, например $\psi (x,0)$ в $L_{2}(\mathbb {R} ^{1},\mathbb {C} )$. Здесь, $L_{2}(X,E)$ обозначает подпространство L² или квадратично-интегрируемое подпространство пространства функций $f:X\to E$. В трёх измерениях со скалярным потенциалом $U(\mathbf {x} ,t)$ состояние $\psi :\mathbb {R} \to L_{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} )$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера,

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} ,t)\right]\psi (\mathbf {x} ,t)$

для соответствующих начальных условий, например $\psi (\mathbf {x} ,0)$ в $L_{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} )$. Строго говоря, пространство физически различных чистых состояний не является вышеупомянутым пространством L² но скорее лучом в проективном гильбертовом пространстве, что следует из теории представлений С*-алгебры. Были найдены точные решения для простых систем, таких как атом водорода, исключая гелий и более сложные атомы, в то время как существуют численные методы и применяются на молекулярном уровне.

Классический предел

Значения волновой функции координатного пространства выше являются координаты вектора состояния в координатном пространстве собственного базиса, выраженные как $\psi (\mathbf {x} ,t)=\langle \mathbf {x} |\psi (t)\rangle$. Временная эволюция вектора состояния порождается оператором Гамильтона ${\hat {H}}$, приводя к общему уравнению Шрёдингера $i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle$, формальным решением которого является унитарный оператор временной эволюции ${\hat {U}}(t)$,

$|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}|\psi (0)\rangle$.

Расширение следующей амплитуды перехода даёт интеграл пути, взятый по всем путям $\mathbf {y} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}$ из $\mathbf {y} (t_{1})=\mathbf {x} _{1}$ в $\mathbf {y} (t_{2})=\mathbf {x} _{2}$,

$\langle \mathbf {x} _{2}|{\hat {U}}(t_{2}-t_{1})|\mathbf {x} _{1}\rangle =\langle \mathbf {x} _{2}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2}-t_{1})}|\mathbf {x} _{1}\rangle =\int _{\mathbf {y} (t_{1})=\mathbf {x_{1}} }^{\mathbf {y} (t_{2})=\mathbf {x} _{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {S}}[\mathbf {y} ]}\,{\mathcal {D}}\mathbf {y}$,

и свёртка это с начальной волновой функцией даёт Лагранжеву формулировку квантовой механики через интегральную формулировку пути,

$\psi (\mathbf {x} _{2},t_{2})=\int _{\mathbf {x} _{1}}\int _{\mathbf {y} (t_{1})=\mathbf {x_{1}} }^{\mathbf {y} (t_{2})=\mathbf {x} _{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {S}}[\mathbf {y} ]}\,{\mathcal {D}}\mathbf {y} \,\psi (\mathbf {x} _{1},t_{1})\,\mathrm {d} \mathbf {x} _{1}$.

В пределе $\hbar \to 0$ (т. е. как $\hbar /mc$ становится бесконечно меньше, чем характерная длина рассматриваемой области), относительный вклад пути $\mathbf {y}$, который удовлетворяет классическим уравнениям движения, становится бесконечным, и следовательно ${\hat {U}}(t)$ будет транспортировать декогерентный волновой пакет, локализованный в $\mathbf {x} _{1}$ (напр. $\psi (\mathbf {x} ,t_{1})\approx \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1})$) по своему классическому пути без квантовых эффектов, порождая принцип Гамильтона и программу классической механики выше.

Квантовая теория поля

Для поля в пространственных измерениях d с массой m и значением в V программа из квантовой теории поля в теории можно получить волновой функционал $\Psi :\mathbb {R} \to L_{2}(\mathbb {R} ^{d}\to V,\mathbb {C} )$ который удовлетворяет $i\hbar \partial _{0}\Psi [\phi (\cdot ),t]={\hat {H}}\Psi [\phi (\cdot ),t]$ с

${\hat {H}}=\int \mathrm {d} ^{d}x\left[\partial _{0}{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ){\hat {\pi }}(\mathbf {x} )-{\mathcal {L}}[{\hat {\phi }},\mathbf {\partial } {\hat {\phi }}]\right]$

учитывая подходящие начальные условия, гипотетически $\Psi [\phi (\cdot ),0]:L_{2}(\mathbb {R} ^{d}\to V,\mathbb {C} )$. Однако нахождение точного решения превосходит современные математические возможности для всех случаев, кроме распространения свободных частиц. На практике расчёты состоят из определения амплитуды рассеяния с помощью пертурбативных аппроксимаций или численного аппроксимирования соответствующих теорий поля на решётке.

Классический предел

Значения волнового функционала существуют в базисе операторов поля как $\Psi [\phi (\cdot ),t]=\langle \phi (\cdot )|\Psi (t)\rangle$, где состояние удовлетворяет уравнению $i\hbar \partial _{0}|\Psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle$. Расширение формального решения даёт интеграл пути, взятый по каждому пути в поле $\chi :\mathbb {R} \to V^{\mathbb {R} ^{d}}$ из $\chi (t_{1})=\phi _{1}$ в $\chi (t_{2})=\phi _{2}$,

$\langle \phi _{2}|e^{-i{\hat {H}}(t_{2}-t_{1})/\hbar }|\phi _{1}\rangle =\int _{\chi (t_{1})=\phi _{1}}^{\chi (t_{2})=\phi _{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {S}}[\mathbf {\chi } ]}\,{\mathcal {D}}\mathbf {\chi }$

и свёртка этого с начальным волновым функционалом даёт

$\Psi [\phi _{2},t_{2}]=\int _{\phi _{1}}\int _{\chi (t_{1})=\phi _{1}}^{\chi (t_{2})=\phi _{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {S}}[\mathbf {\chi } ]}\,{\mathcal {D}}\mathbf {\chi } \,\Psi [\phi _{1},t_{1}]\,{\mathcal {D}}\phi _{1}$.

В пределе $\hbar \to 0$ относительный вклад пути поля $\chi$, который удовлетворяет классическим уравнениям движения поля, и ковариантная классическая теория поля восстанавливается.

Нерелятивистский предел

Каждое свободное квантовое поле ${\hat {\phi }}$ может быть разложено с использованием его операторов рождения и уничтожения как

${\hat {\phi }}(x)={\hat {a}}(x)+{\hat {b}}^{\dagger }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{\mathbf {p} }}}}\left\{{\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x/\hbar }+{\hat {b}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x/\hbar }\right\}$,

где операторы рождения и аннигиляции импульсного пространства интегрируются, чтобы получить операторно-значное распределение ${\hat {a}}(x)$ и ${\hat {b}}(x)$, и связь между моментом и энергией даёт $(\hbar \omega _{\mathbf {p} })^{2}=E^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}+(pc)^{2}$. В нерелятивистском пределе $c\to \infty$, таким образом получаем $\hbar \omega _{\mathbf {p} }\approx E\approx mc^{2}$ и фазу $e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t}$ и измеряемую величину $(2\hbar \omega _{\mathbf {p} })^{-1/2}$ множитель, приносящий

${\hat {a}}(x)\to {\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {A}}(x),\quad {\hat {b}}(x)\to {\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {B}}(x)$.

Следовательно, лагранжиан поля $L=(\hbar c)^{2}\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi ^{\dagger }-(mc^{2})^{2}\phi \phi ^{\dagger }$ сводится к

$L={\hat {A}}^{\dagger }(i\hbar \partial _{t}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}){\hat {A}}+{\hat {B}}^{\dagger }(i\hbar \partial _{t}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}){\hat {B}}+{\text{h.c.}}$

поскольку операторы рождения и аннигиляции диссоциируют и ведут себя как два отдельных поля Шрёдингера (представляющих частицу и античастицу), занятые состояния которых каждое независимо подчиняется уравнению Шрёдингера и дают программу квантовой механики частиц выше.

Другой способ

Другие способы могут столкнуться с проблемами при определении локализованных состояний частиц в представлении Гейзенберга и нерелятивистском пределе, $e^{imc^{2}t/\hbar }\langle \mathbf {k} |{\hat {\phi }}(x)|0\rangle$ (with $|\mathbf {k} \rangle$ одночастичное состояние с импульсом $\mathbf {k}$) часто отождествляется с волновой функцией импульсного пространства, но оно не может быть локализовано. При попытке свести релятивистскую квантовую механику к нерелятивистской квантовой механике, хотя гамильтониан $H=(\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})^{1/2}$ порождает Ньютон-вигнерский пропагатор и определяет скаляр Лоренца $\psi$, к сожалению этот пропагатор не является инвариантом Лоренца.