Конфигурация Рейе

Конфигурация Рейе

В математике конфигурация Рейе, предложенная Теодором Рейе в 1882 , — это конфигурация 12 точек и 16 прямых. Каждая точка конфигурации принадлежит четырём прямым, а каждая прямая содержит три точки. Таким образом, конфигурация Рейе обозначается как 12₄16₃.

Реализация

Конфигурация Рейе может быть реализована в трёхмерном проективном пространстве, если взять в качестве прямых 12 рёбер и четыре длинные диагонали куба, а в качестве точек — восемь вершин куба, его центр и три точки, где четыре параллельных ребра пересекаются на бесконечности. Два правильных тетраэдра могут быть вписаны в куб, образуя звёздчатый октаэдр. Эти два тетраэдра являются перспективными друг другу фигурами четырьмя различными путями, а другие четыре точки являются их центрами перспективы. Эти два тетраэдра вместе с тетраэдром, образованным оставшимися 4 точками, образуют десмическую систему трёх тетраэдров.

Любые две непересекающиеся сферы в трёхмерном пространстве с различными радиусами имеют два бикасательных двойных конуса, вершины которых называются центрами подобия. Если даны три сферы и их центры не коллинеарны, их шесть центров подобия образуют шесть точек полного четырёхсторонника, четыре прямых которого называются осями подобия. Если же даны четыре сферы и их центры не лежат в одной плоскости, то они образуют 12 центров подобия и 16 осей подобия, дающих вместе конфигурацию Рейе.

Конфигурацию Рейе можно реализовать в виде точек и прямых на евклидовой плоскости, если нарисовать трёхмерную конфигурацию в 3-точечной перспективе. Конфигурация 8₃12₂ восьми точек на вещественной проективной плоскости и 12 прямых, соединяющих их со схемой соединений куба, может быть расширена до конфигурации Рейе тогда и только тогда, когда восемь точек являются перспективной проекцией параллелепипеда.

Приложения

Аравинд обратил внимание на то, что конфигурация Рейе лежит в основе доказательства теоремы Белла об отсутствии скрытых переменных в квантовой механике.

Связанные конфигурации

Конфигурация Паппа может быть получена из двух треугольников, являющихся перспективными фигурами относительно друг друга тремя различными путями аналогично интерпретации конфигурации Рейе с использованием десмических тетраэдров.

Если конфигурация Рейе образована из куба в трёхмерном пространстве, имеется 12 плоскостей, каждая из которых содержит четыре прямые — шесть граней куба и шесть плоскостей через противоположные стороны куба. Пересечение этих 12 плоскостей и 16 прямых с другой плоскостью в общем положении даёт конфигурацию 16₃12₄, двойственную конфигурации Рейе. Конфигурация Рейе и двойственная ей вместе образуют конфигурацию 28₄28₄.

Существует 574 различных конфигураций типа 12₄16₃.

Литература

• С. Э. Кон-Фоссен, Д. Гильберт. Наглядная геометрия. — М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936. — 302 с.
• P. K. Aravind. How Reye's configuration helps in proving the Bell-Kochen-Specker theorem: a curious geometrical tale // Foundations of Physics Letters. — 2000. — Т. 13, вып. 6. — С. 499–519. — doi:10.1023/A:1007863413622.
• Marcel Berger. Geometry revealed. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2010. — ISBN 978-3-540-70996-1. — doi:10.1007/978-3-540-70997-8.
• Anton Betten, Dieter Betten. More on regular linear spaces // Journal of Combinatorial Designs. — 2005. — Т. 13, вып. 6. — С. 441–461. — doi:10.1002/jcd.20055.
• Branko Grünbaum, J. F. Rigby. The real configuration (21₄) // Journal of the London Mathematical Society. — 1990. — Т. 41, вып. 2. — С. 336–346. — doi:10.1112/jlms/s2-41.2.336.
• Hilbert, David & Cohn-Vossen, Stephan. 22. Reye's configuration, Geometry and the Imagination (2nd ed.) (англ.). — New York: Chelsea, 1952. — P. 134—143. See also pp. 154—157. — ISBN 978-0-8284-1087-8.
• Th. Reye. Das Problem der Configurationen (нем.) // Acta Mathematica. — 1882. — Bd. 1, H. 1. — S. 93–96. — doi:10.1007/BF02391837.
• Brigitte Servatius, Herman Servatius. The generalized Reye configuration // Ars Mathematica Contemporanea. — 2010. — Т. 3, вып. 1. — С. 21–27.