Комплекс Чеха

Построение комплекса Чеха множества точек, выбранных на окружности

Комплекс Чеха — абстрактный симплициальный комплекс, построенный по облаку точек в любом метрическом пространстве, предназначенный для получения топологической информации об облаке точек или распределении, при помощи которого выбираются точки. Широко используется в топологическом анализе данных.

Комплекс Чеха строится ${\check {C}}_{\varepsilon }(X)$ для данного конечного облака точек $X$ и числа $\varepsilon >0$ строится следующим образом:

• выбираются элементы множества $X$ в качестве набора вершин ${\check {C}}_{\varepsilon }(X)$;
• для каждого $\sigma \subset X$ пусть $\sigma \in {\check {C}}_{\varepsilon }(X)$, если множество $\varepsilon$-шаров с центрами в $\sigma$ имеет непустое пересечение.

Другими словами, комплекс Чеха — это нерв множества $\varepsilon$-шаров с центрами в $X$.

Комплекс Чеха является подкомплексом комплекса Вьеториса — Рипса. В то время как комплекс Чеха вычислительно «дороже» комплекса Вьеториса — Рипса (с точки зрения вычислительной геометрии), поскольку необходимо проверять большее количество пересечений шаров в комплексе, теорема о нерве гарантирует, что комплекс Чеха гомотопически эквивалентен объединению шаров, тогда как комплекс Вьеториса — Рипса таким свойством в общем случае не обладает.

Литература

• Robert W. Ghrist. Elementary applied topology. — 1st. — United States, 2014. — ISBN 9781502880857.