Кольцо когомологий

В алгебраической топологии, кольцо когомологий топологического пространства X — это N-градуированное кольцо, составленное из групп когомологий пространства с $\smile$-произведением (произведением Колмогорова — Александера) в качестве умножения в кольце:

$H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R),$

где коэффициенты берутся в коммутативном кольце R (как правило в качестве R берут Z_n, Z, Q, R или C). Здесь под когомологиями как правило понимают сингулярные когомологии. Кольцо когомологий представляет собой важнейший топологический инвариант: непрерывное отображение топологических пространств $X\to Y$ индуцирует гомоморфизм колец $H^{\bullet }(Y;R)\to H^{\bullet }(X;R)$.

Особенно важной вехой в развитии топологии по многим причинам оказался 1935 год. В сентябре 1935 года в Москве состоялась «Первая международная топологическая конференция»». Независимые друг от друга доклады Дж. Александера, И. И. Гордона и А. Н. Колмогорова, прочитанные на этой конференции, положили начало теории когомологий. Конструкция умножения когомологий И. И. Гордона отличалась от конструкций Дж. Александера и А. Н. Колмогорова, которые были идентичны. Несколько позднее изоморфизм колец Гордона и Александера-Колмогорова был доказан Г. Фройденталем.

Примеры

• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$, где $|\alpha |=1$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]$, где $|\alpha |=1$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$, где $|\alpha |=2$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$, где $|\alpha |=2$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$, где $|\alpha |=4$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$, где $|\alpha |=4$.

Литература

• Gordon I. I. On intersection invariants of a complex and its complementary space. Ann. of Math. 37:3 (1936). 519―525.
• Hatcher, Allen. Algebraic topology. — Cambridge : Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-79160-X.
• Novikov, S. P. Topology I, General Survey. — Springer-Verlag, 1996. — ISBN 7-03-016673-6.
• Письма Л.С.Понтрягина И.И.Гордону