Категория 𝒪

Категория ${\mathcal {O}}$ — математический объект в теории представлений полупростых алгебр Ли. Это категория, чьи объекты — определённые представления полупростой алгебры Ли, а морфизмы — гомоморфизмы представлений.

Введение

Пусть ${\mathfrak {g}}$ — (обычно комплексная) полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картана ${\mathfrak {h}}$, а $\Phi$ — система корней и $\Phi ^{+}$ — система положительных корней. Обозначим ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ пространство корней соответствующее корню $\alpha \in \Phi$ и ${\mathfrak {n}}:=\oplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$ — нильпотентная подалгебра.

Если $M$ — ${\mathfrak {g}}$-модуль и $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$, то $M_{\lambda }$ is the весовое пространство

$M_{\lambda }=\{v\in M;\,\,\forall \,h\in {\mathfrak {h}}\,\,h\cdot v=\lambda (h)v\}.$

Определение категории ${\mathcal {O}}$

Объекты категории ${\mathcal {O}}$ — ${\mathfrak {g}}$-модули $M$, такие что

1. $M$ — конечнопорождённый
2. $M=\oplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}M_{\lambda }$
3. $M$ локально ${\mathfrak {n}}$-конечен, т.е., для каждого $v\in M$, ${\mathfrak {n}}$-модуль порождённый $v$ — конечномерный.

Морфизмы этой категории — ${\mathfrak {g}}$-гомоморфизмы этих модулей.

Базовые свойства

• У каждого модуля в категории ${\mathcal {O}}$ есть конечнопорождённое весовое пространство.
• Каждый модуль в категории ${\mathcal {O}}$ — Нётеров модуль.
• ${\mathcal {O}}$ — абелева категория
• У ${\mathcal {O}}$ есть достаточно много проективных и инъективных объектов.
• ${\mathcal {O}}$ замкнута по отношению к подмодулям, частным и конечным прямым суммам
• Объекты в ${\mathcal {O}}$ $Z({\mathfrak {g}})$-конечны, т.е., если $M$ объект и $v\in M$, то подпространство $Z({\mathfrak {g}})v\subseteq M$ порождённое $v$ под действием центра универсальной обёртывающей алгебры, конечномерное.

Примеры

• Все конечномерные ${\mathfrak {g}}$-модули и их ${\mathfrak {g}}$-гоморфизмы принадлежат категории ${\mathcal {O}}$.
• Модуль Верма и обобщенные модули Верма и их ${\mathfrak {g}}$-гомоморфизмы принадлежат категории ${\mathcal {O}}$.

См. также

• Универсальная обёртывающая алгебра
• Категория старшего веса

Литература

• Humphreys, James E. (2008), Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O (PDF), AMS, ISBN 978-0-8218-4678-0, Архивировано из оригинала (PDF) 21 марта 2012, Дата обращения: 23 сентября 2018 Архивная копия от 21 марта 2012 на Wayback Machine