Иррациональная последовательность

В математике последовательность целых положительных чисел a_n называется иррациональной последовательностью, если она обладает свойством, что для любой последовательности x_n положительных целых чисел сумма последовательности

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}$

существует и является иррациональным числом. Задача описания иррациональных последовательностей поставлена Палом Эрдёшем и Эрнстом Страусом, которые первоначально называли свойство быть иррациональной последовательностью «Свойством P».

Примеры

Степени двойки $2^{2^{n}}$ образуют иррациональную последовательность. Тем не менее, хотя последовательность Сильвестра

2, 3, 7, 43, 1807, 3 263 443, …

(в которой каждый член на единицу больше произведения всех предыдущих членов) также растёт со скоростью двойной экспоненты, она не образует иррациональную последовательность. Если положить $x_{n}=1$, получим

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,$

которая сходится к рациональному числу. Подобным же образом факториалы $n!$ не образуют иррациональную последовательность, поскольку последовательность $x_{n}=n+2$ приводит к последовательности с рациональной суммой

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1$.

Скорость роста

Любая последовательность a_n, которая растёт со скоростью, такой что

$\limsup _{n}{\frac {\log \log a_{n}}{n}}>\log 2$

является иррациональной последовательностью. Сюда входят последовательности, которые растут быстрее двойной экспоненты, как и некоторые двойные экспоненциальные последовательности растущие быстрее, чем степень степени двух.

Любая иррациональная последовательность должна расти достаточно быстро, так что

$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}=\infty .$

Однако не известно, существует ли такая последовательность, в которой НОД любой пары множителей равен 1 (в отличие от степени степени двух) и для которой

$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/2^{n}}<\infty$.

Связанные свойства

По аналогии с иррациональными последовательностями, Ханчл (Hančl 1996) определил трансцендентные последовательности как последовательности целых чисел a_n, такие, что для любой последовательности x_n положительных целых чисел сумма последовательности

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}$

существует и является трансцендентным числом.