Игра Пенни
Игра Пенни — нетранзитивный парадокс, найденный Уолтером Пенни[фр.].
Описание[править | править код]
Описание парадокса впервые было опубликовано в октябре 1969 года в журнале «Journal of Recreational Mathematics». Суть этого парадокса сводится к следующему: пусть А и Б играют в такую игру — сначала А выбирает произвольную двоичную последовательность (например, из нулей и единиц) длины 3 и показывает её игроку Б. Затем Б делает то же самое. Далее игроки строят случайную двоичную последовательность, в которой появление 0 и 1 равновероятно (например, бросают монету, считая выпадение орла за 1 и решки за 0). Выигрывает тот игрок, чья последовательность встретится раньше в этой случайной последовательности. Например, пусть игрок А выбрал тройку 001, а игрок Б — тройку 100. Пусть при 5-кратном бросании монеты получилась случайная последовательность 10100. Последние 3 цифры в ней — 100 — совпадают с тройкой, выбранной игроком Б, а тройка А не встретилась, поэтому после 5-го бросания монеты игрок Б выигрывает. Парадокс заключается в том, что для любой тройки игрока А найдётся такая тройка, которая выигрывает у неё с вероятностью, большей 1/2. То есть нет «самой сильной» тройки, для любой тройки найдётся более «сильная», которая выигрывает у неё с вероятностью, большей половины. Шансы на выигрыш у игрока Б в худшем случае равны 2/3. Если от троек перейти к четвёркам исходов, то шансы игрока Б на выигрыш станут ещё выше.
Мартин Гарднер по этому поводу пишет:
Ситуация эта малоизвестна, и большинство математиков просто не могут поверить в неё, когда слышат об открытии Пенни. Это — заведомо самое красивое надувательство (если надувательство может быть красивым), рассчитанное на простака.
— Гарднер Мартин. «Путешествие во времени»[1]
В следующей таблице приведены вероятности выигрыша игрока Б с тройками исходов.
- АБ
000 001 010 011 100 101 110 111 000 1/2 2/5 2/5 1/8 5/12 3/10 1/2 001 1/2 2/3 2/3 1/4 5/8 1/2 7/10 010 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/8 7/12 011 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/4 7/8 100 7/8 3/4 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5 101 7/12 3/8 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5 110 7/10 1/2 5/8 1/4 2/3 2/3 1/2 111 1/2 3/10 5/12 1/8 2/5 2/5 1/2
Чтобы найти выигрышную тройку, в верхней строке таблицы найдите тройку игрока А, а в её столбце ищите максимальное число. В строке с этим числом в левом столбце будет стоять тройка игрока Б, которая выигрывает против заданной тройки игрока А с максимальной вероятностью. Например, пусть игрок А выбрал тройку 000. В 1-м столбце таблицы ищем наибольшее число, это 7/8. В левом столбце строки с числом 7/8 читаем тройку игрока Б 100, которая выигрывает против тройки 000 с вероятностью 7/8. Действительно: если при бросании монеты последовательность не начинается на 000, то, когда эта тройка впервые появится в случайной последовательности, ей будет предшествовать 1, а это значит, что тройка 100 встретилась раньше, и игрок Б выиграл. Тройка 000 выигрывает против тройки 100, только если 000 встретится в самом начале случайной последовательности, а вероятность этого равна 1/8.
Оптимальная стратегия для первого игрока (для любой длины последовательности не менее 4) была найдена венгерским математиком и криптографом Яношем Чириком[2].
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ Гарднер Мартин. Путешествие во времени = Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. — М.: «Мир», 1990. — С. 75. — 341 с. — ISBN 5-03-001166-8.
- ↑ János A. Csirik. Optimal Strategy for the First Player in the Penney Ante Game // Combinatorics, Probability and Computing. — Cambridge University Press, 1992. — Вып. 1. — С. 311—321. — doi:10.1017/S0963548300000365.
Ссылки[править | править код]
- Сергей Мельников. Прыжок через козла // Наука и жизнь. — 1997. — Вып. 5. — С. 62-64. В этом рассказе студенты мехмата ДГУ (ныне ДНУ — Днепропетровский национальный университет) получают зачёт по физкультуре, используя данный парадокс У. Пенни.
- Daniel Felix. Optimal Penney Ante Strategy via Correlation Polynomial Identities // The electronic journal of combinatorics. — 2006. — Вып. 13.
- Walter Penney. Problem 95: Penney-Ante // Journal of Recreational Mathematics. — 1974. — С. 321.
- Raymond S. Nickerson. Penney Ante: Counterintuitive Probabilities in Coin Tossing // The UMAP Journal. — 2007. — Вып. 4. — С. 503–532. Архивировано 4 марта 2016 года.
- J. M. Cargal. Chapter 35. Mixed Chains // Discrete Mathematics for Neophytes: Number Theory, Probability, Algorithms, and Other Stuff. — 1988.
- Roland Backhouse. First-past-the-post Games
- Певзнер П. Лучшее пари для простаков // Квант. — 1987. — № 5. — С. 4—15.