Замена вероятностной меры

Замена вероятностной меры (Change measure) - применяемая в стохастической финансовой математике процедура изменения вероятностной меры относительно которой рассматриваются случайные процессы с целью получения иных (возможно более удобных с для практических целей) формул оценки стоимости финансовых инструментов или иных их характеристик.

Замена вероятностной меры основана на теоремах Радона-Никодима, теореме Гирсанова, а также на обобщенной формуле Байеса для условных математических ожиданий.

Теория арбитражного ценообразования в первую очередь предполагает замену физической вероятностной меры на риск-нейтральную меру. Во многих случаях удобным оказывается замена последней на форвардную меру. Могут применяться также иные меры, например, своп-мера.

Чаще всего использование той или иной меры связано с тем что в соответствующей мере некоторый интересующий процесс является мартингалом, а значит наилучшей оценкой будущего ожидаемого значения (ожидаемого в этой мере) равно текущему значению процесса.

Производная Радона-Никодима и формула Байеса

В теории вероятностей вероятностная мера определяется аксиоматически, соответственно на одном и том же пространстве событий могут быть определены потенциально разные вероятностные меры. В теории меры используется понятие абсолютной непрерывности одной меры относительно другой и более сильное понятие взаимной абсолютной непрерывности мер - эквивалентность мер. Меры называются эквивалентными, если любое событие нулевой меры в одной из них имеет нулевое значение и в другой мере.

Теорема Радона-Никодима утверждает, что для таких мер существует случайная величина, с помощью которой можно перейти от одной меры к другой. Такая случайная величина Z называется производной Радона-Никодима и ее удобно обозначать по аналогии с обычными производными как ${d\mathbb {Q} \over d\mathbb {P} }$. При таком обозначении очевидным становится равенство, которое собственно и представляет собой определение производной Радона-Никодима:

$\mathbb {Q} (A)=\int \limits _{A}{d\mathbb {Q} \over d\mathbb {P} }d\mathbb {P} =\int \limits _{A}Zd\mathbb {P}$

В случае именно вероятностных мер производная Радона-Никодима предполагается нормализованной в том смысле, что ее математическое ожидание в "старой" мере должно быть равно единице, так как это равно значению "новой" меры всего пространства событий, что по определению должно быть равно единице.

Отсюда несложно также видеть как связано математическое ожидание в одной мере с математическим ожиданием в другой

$\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }(X)=\int ZXd\mathbb {P} =\mathbb {E} ^{\mathbb {P} }(ZX)$

Можно показать, что в случае условных математических ожиданий выполнено равенство (собственно обобщенная формула Байеса)

$\mathbb {E} _{\mathcal {F}}^{\mathbb {Q} }(X)={\mathbb {E} _{\mathcal {F}}^{\mathbb {P} }(ZX) \over \mathbb {E} _{\mathcal {F}}^{\mathbb {P} }(Z)}$

Для случайных процессов предполагается заданным не только вероятностное пространство, но и фильтрация событий - поток сигма алгебр ${\mathcal {F}}_{t}$, "вложенных" в полную сигма-алгебру событий. В финансовой теории эти сигма-алгебры интерпретируются как "информация доступная к данному моменту". Относительно этой "информации" могут рассматриваться условные математические ожидания будущих значений случайных процессов.

Учитывая общую формулу Байеса можно записать следующую формулу

$\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }(X_{T})={\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }(Z_{T}X_{T}) \over z_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }({Z_{T} \over z_{t}}X_{T})$ , где $z_{t}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }(Z_{T})$ - так называемый процесс плотности

Формула замены эквивалентных мартингальных мер

Пусть $V$ - процесс стоимости актива, и даны два процесса $A$ и $B$, такие что отношения $V/A$ и $V/B$ являются мартингалами соответственно в мере $Q^{A}$ и $Q^{B}$ (такие меры называют мартингальными). Это означает, что

${V_{t} \over A_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{A}}({V_{T} \over A_{T}})$ и ${V_{t} \over B_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}({V_{T} \over B_{T}})$

Но поскольку текущая стоимость актива одна и та же и не зависит от меры, то отсюда получаем формулу связи условных математических ожиданий в таких мерах

$\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{A}}({V_{T} \over A_{T}})={B_{t} \over A_{t}}\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}({V_{T} \over B_{T}})=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}({B_{t}A_{T} \over A_{t}B_{T}}{V_{T} \over A_{T}})$

Это по существу и есть формула замены мартингальных мер. Также полезно получить отсюда выражение для процесса плотности. Учитывая формулу замены меры для случайных процессов из этой формулы следует, что в данном случае для процесса плотности имеет место равенство

${Z_{T} \over Z_{t}}={B_{t}A_{T} \over A_{t}B_{T}}={A_{T}/B_{T} \over A_{t}/B_{t}}$

Отсюда следует, что процесс плотности $Z_{t}$ пропорционален процессу $A_{t}/B_{t}$, а поскольку процесс плотности в нулевой момент времени должен быть равен единице, то этот коэффициент пропорциональности должен быть равен обратной величине этого процесса в нулевой момент времени:

$Z_{t}={A_{t}/B_{t} \over A_{0}/B_{0}}$

Замена меры в дифференциальном представлении процессов

При замене меры в соответствии с теоремой Гирсанова в представлении стохастического процесса в дифференциальной форме меняется дрифт - трендовая составляющая - на величину, равную взятому с обратным знаком произведению волатильности процесса на волатильность процесса плотности. То есть если исходный процесс в мере $\mathbb {Q} ^{A}$ имеет вид

$dX_{t}=\mu _{t}(X_{t})dt+{\boldsymbol {\sigma }}_{t}^{T}(X_{t})d{\boldsymbol {W}}_{t}^{\mathbb {Q} ^{A}}$

то в мере $\mathbb {Q} ^{B}$ процесс имеет вид:

$dX_{t}=[\mu _{t}(X_{t})-{\boldsymbol {\lambda }}_{t}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}_{t}(X_{t})]dt+{\boldsymbol {\sigma }}_{t}(X_{t})d{\boldsymbol {W}}_{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}$

где ${\boldsymbol {\lambda }}_{t}^{T}$ - процесс волатильности для процесса плотности $z_{t}$ замены мер:

$dz_{t}=-z_{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{t}^{T}d{\boldsymbol {W}}_{t}^{\mathbb {Q} ^{A}}$

Примеры замены мер

Замена риск-нейтральной меры на форвардную

В риск-нейтральной мере базой стоимости (numeraire) является банковский счет, а в форвардной мере - бескупонная облигация. Согласно общей формуле замены меры имеем

$\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}(V_{T})=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }({B_{t}P(T,T) \over B_{T}P(t,T)}V_{T})=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }({D(t,T) \over P(t,T)}V_{T})$

Учитывая, что процесс стоимости дисконтной облигации $P(t,T)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]$ является фактически t-измеримым случайным процессом, то его можно вынести за знак математического ожидания и тогда получаем следующую формулу

$V_{t}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }(D(t,T)V_{T})=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}(V_{T})$

Первая формула- формула оценки в риск-нейтральной мере, вторая - в форвардной мере.

Замены между форвардными мерами различной срочности

Используя общую формулу замены мер можно записать следующую формулу при $T<S$:

$\mathbb {E} _{t}^{T}(X_{T})=\mathbb {E} _{t}^{S}\left[{P(t,S) \over P(t,T)}{P(T,T) \over P(T,S)}X_{T}\right]={P(t,S) \over P(t,T)}\mathbb {E} _{t}^{S}\left[{X_{T} \over P(T,S)}\right]$

Если подставить в эту формулу вместо $X_{T}$ величину $P(T,S)X_{T}$, получим

$\mathbb {E} _{t}^{T}(P(T,S)X_{T})={P(t,S) \over P(t,T)}\mathbb {E} _{t}^{S}\left[X_{T}\right]$

Следовательно

$\mathbb {E} _{t}^{S}\left[X_{T}\right]={P(t,T) \over P(t,S)}\mathbb {E} _{t}^{T}(P(T,S)X_{T})$

Соответственно, если внутри математического ожидания использовать замену $P(S,T)$ на $1/P(T,S)$ при необходимости, то независимо от того, $T<S$ или $T>S$ можно использовать формулу

$\mathbb {E} _{t}^{T}(X_{T})={P(t,S) \over P(t,T)}\mathbb {E} _{t}^{S}\left[{X_{T} \over P(T,S)}\right]$

Из этого следует общая формула оценки случайного будущего платежа в произвольной форвардной мере

$V_{t}=P(t,S)\mathbb {E} _{t}^{S}\left[{V_{T} \over P(T,S)}\right]$

И в частности, если T=S знаменатель становится равным единице и получаем классическую формулу оценки в собственной форвардной мере.

Также можно показать, что в вышеприведенную формулу также можно записать и заменив $P(T,S)$ на $D(T,S)$

$V_{t}=P(t,S)\mathbb {E} _{t}^{S}\left[{V_{T} \over D(T,S)}\right]$

См. также

• Риск-нейтральная мера
• Форвардная мера
• Теорема Гирсанова