Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

В математике, дифферинтеграл Римана — Лиувилля отображает вещественную функцию $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ в другую функцию $I^{\alpha }f$ того же типа для каждого значения параметра $\alpha >0$. Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от $f$ в том смысле, что для целых положительных значений $\alpha$, $I^{\alpha }f$ представляет собой повторную первообразную функции $f$ порядка $\alpha$. Дифферинтеграл Римана — Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля, последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году. Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции. Он был обобщён на произвольные размерности Марселем Рисом, который ввёл потенциал Риса.

Интеграл Римана — Лиувилля определяется как:

$I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt,$

где $\Gamma$ — гамма-функция, а $a$ — произвольная, но фиксированная точка отсчёта. То что данный интеграл хорошо определён обеспечивается локальной интегрируемостью функции $f$, $\alpha$ — комплексное число в полуплоскости $\mathrm {Re} \,\alpha >0$. Зависимость от точки отсчёта $a$ часто не существенна и представляет собой свободу в выборе константы интегрирования. $I^{1}f$ конечно же является первообразной (первого порядка) функции $f$, для целых положительных значений $\alpha$ $I^{\alpha }f$ представляет собой первообразную порядка $\alpha$ в соответствии с формулой повторного интегрирования Коши. В других обозначениях, подчёркивающих зависимость от точки отсчёта имеет вид:

${}_{a}\mathbb {D} _{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt.$

Данное выражение имеет смысл и при $a=-\infty$, с соответствующими ограничениями на $f$.

Фундаментальными соотношениями остаются:

${\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,$

последние из которых представляет собой полугрупповое свойство. Эти свойства позволяют не только определить дробное интегрирование, но и дробное дифференцирование посредством взятия достаточного числа производных функции $I^{\alpha }f$.

Свойства

Пусть $(a,\;b)$ — фиксированный ограниченный интервал. Оператор $I^{\alpha }$ отображает любую интегрируемую функцию $f$ на $(a,\;b)$ в функцию $I^{\alpha }f$ на $(a,\;b)$, которая также интегрируема по теореме Фубини. Таким образом, $I^{\alpha }$ определяет линейный оператор на пространстве $L^{1}(a,\;b)$:

$I^{\alpha }\colon L^{1}(a,\;b)\to L^{1}(a,\;b).$

Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на $L^{1}$. Таким образом, верно следующее неравенство:

$\|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|b-a|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.$

Здесь $\|\cdot \|_{1}$ обозначает норму в $L^{1}(a,\;b)$.

В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если $f$ принадлежит $L^{p}(a,\;b)$, то и $I^{\alpha }f$ также принадлежит $L^{p}(a,\;b)$ и выполняется аналогичное неравенство:

$\|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|b-a|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p}}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p},$

где $\|\cdot \|_{p}$ — норма в пространстве $L^{p}$ на интервале $(a,\;b)$. Таким образом, $I^{\alpha }$ определяет ограниченный линейный оператор из $L^{p}(a,\;b)$ в себя. Более того, $I^{\alpha }f$ стремится к $f$ в $L^{p}$-смысле при $\alpha \to 0$ вдоль вещественной оси. То есть:

$\lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0$

для всех $p\geqslant 1$. Кроме того, оценивая максимальную функцию оператора $I$ можно доказать поточечную сходимость $I^{\alpha }f\to f$ почти всюду.

Оператор $I^{\alpha }$ хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой $\mathbb {R}$. Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа $X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)$, состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма

$\|f\|=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt$

конечна. Для $f$ из $X_{\sigma }$ преобразование Лапласа функции $I^{\alpha }f$ принимает особенно простую форму:

$({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),$

где $\mathrm {Re} \,s>\sigma$. Здесь через $F(s)$ обозначено преобразование Лапласа функции $f$ и это свойство выражает тот факт, что $I^{\alpha }$ представляет собой Фурье-мультипликатор.

Дробные производные

Можно также определить производные дробного порядка от функции $f$:

${\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,$

где через $\lceil \cdot \rceil$ обозначена операция взятия целой части. Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:

$\mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\alpha }f(x),&\alpha <0.\end{cases}}$

Ссылки

• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, MR 0423094.
• Miller, Kenneth S.; Ross, Bertram (1993), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9.
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta mathematica, 81 (1): 1—223, doi:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962, MR 0030102.
• Alan Beardon. Fractional calculus II  (неопр.). University of Cambridge (2000). Архивировано 17 мая 2012 года.
• Alan Beardon. Fractional calculus III  (неопр.). University of Cambridge (2000). Архивировано 17 мая 2012 года.