Дзета-функция Дедекинда

Дзета-функция Дедекинда $\zeta _{K}(s)$ — это дзета-функция алгебраического числового поля $K$, являющаяся обобщением дзета-функции Римана.

Определение и основные свойства

Пусть $K$ — алгебраическое числовое поле, $s$ — комплексное число, тогда

$\zeta _{K}(s)=\sum \limits _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}$

где $I$ пробегает все ненулевые идеалы кольца целых ${\mathcal {O}}_{K}$ поля $K$, $N_{K/\mathbb {Q} }$ — абсолютная норма идеала $I$ (которая равна индексу $[{\mathcal {O}}_{K}\colon I]$). Этот ряд сходится абсолютно для всех $s\in \mathbb {C}$ с действительной частью $\operatorname {Re} (s)>1$.

В общем случае дзета-функция Дедекинда определяется как

$\zeta _{K}(s)=\sum \limits _{\mathfrak {a}}{\frac {1}{N({\mathfrak {a}})^{s}}}$

где ${\mathfrak {a}}$ пробегает все целые дивизоры поля $K$, а $N({\mathfrak {a}})$ обозначает норму дивизора ${\mathfrak {a}}$.

Свойства

• Если $K=\mathbb {Q}$ — поле рациональных чисел, то $\zeta _{\mathbb {Q} }(s)=\zeta (s)$ - дзета-функции Римана.

Эйлерово произведение

Дзета-функция Дедекинда $K$ разлагается в эйлерово произведение по всем простым идеалам $P$ кольца ${\mathcal {O}}_{K}$

$\zeta _{K}(s)=\prod \limits _{P\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{(N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}}}$

при $\operatorname {Re} (s)>1$.

Эта формула выражает единственность разложения идеала $I$ в произведение простых идеалов в дедекиндовом кольце ${\mathcal {O}}_{K}$. При $\operatorname {Re} (s)>1$ это произведение ненулевых множителей абсолютно сходится к $\zeta _{K}(s)$, откуда следует, что в этой области $\zeta _{K}(s)\neq 0$.

Аналитическое продолжение

$\zeta _{K}(s)$ имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, которое является мероморфной функцией, имеющей простой полюс в точке $s=1$.

Функциональное уравнение

Как и дзета-функция Римана, дзета-функция Дедекинда удовлетворяет некоторому функциональному уравнению, связывающему значения $\zeta _{K}(s)$ и $\zeta _{K}(1-s)$. Конкретно, пусть $D(K)$ — дискриминант поля $K$, $r$ — число действительных вложений, а $t$ — число пар комплексно-сопряжённых вложений поля $K$ в $\mathbb {C}$. Обозначим

$\Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)$

$\Gamma _{\mathbf {C} }(s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)$

где $\Gamma (s)$ — гамма-функция. Тогда функция

$\Lambda _{K}(s)=|D(K)|^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }^{r}(s)\Gamma _{\mathbf {C} }^{t}(s)\zeta _{K}(s)$

удовлетворяет функциональному уравнению

$\Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s)$

Связь с характеристиками поля

Как и дзета-функция Римана, значения дзета-функции Дедекинда заключают в себе (хотя бы гипотетически) важную арифметическую информацию о $K$.

Например, точка $s=1$ — простой полюс $\zeta _{K}(s)$, и для поля алгебраических чисел $K$ степени $n=r+2t$ ($r,t$ определены выше) вычет в этой точке равен

$\lim \limits _{s\to 1+0}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r+t}\pi ^{t}R(K)}{w(K){\sqrt {|D(K)|}}}}h(K)$

где $h(K)$ — число классов дивизоров, $D(K)$ — дискриминант поля, $R(K)$ - регулятор поля $K$, а $w(K)$ — число содержащихся в $K$ корней из 1 (порядок подгруппы кручения ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$). Вычет в этой точке дает аналитическую формулу для числа классов.

Другой пример — нуль $s=0$, порядок $u$ которого равен рангу группы единиц кольца ${\mathcal {O}}_{K}$. Предел в этой точке равен

$\lim \limits _{s\to 0}s^{-u}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)}}.$

Это следует из функционального уравнения и соотношения $u=r+t-1$.

Из функционального уравнения и того, что $\Gamma (-n)=\infty$ для всех натуральных $n$ получаем, что $\zeta _{K}(-2n)=0$. $\zeta _{K}(-2n-1)=0$ для всех $K$, кроме случая, когда $K$ полностью действительно (т.е. когда $t=0$, т.е. когда $K=\mathbb {Q}$ или $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}],d>0$). В полностью действительном случае, Зигель показал, что $\zeta _{K}(s)$ - ненулевое рациональное число для отрицательных нечетных $s$. Стивен Лихтенбаум предложил гипотезу о выражении специальных значений для этих рациональных чисел в терминах алгебраической K-теории поля $K$.

Связь с дзета- и L-функциями

В случае, когда $K$ — абелево расширение $\mathbb {Q}$, его дзета-функция Дедекинда $\zeta _{K}(s)$ может быть представлена в виде произведений L-функций Дирихле. К примеру, если $K$ — квадратичное поле, то это означает, что

${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}=L(s,\chi )$

где $\chi$ — это символ Якоби, используемый как характер Дирихле. Это соотношение является аналитической переформулировкой квадратичного закона взаимности Гаусса.

В общем случае, если $K$ — расширение Галуа поля $\mathbb {Q}$ с группой Галуа $G$, то его дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина регулярного представления $G$, а значит разлагается в произведение L-функций Артина неприводимых представлений Артина $G$.

Связь с L-функциями Артина показывает, что если $L/K$ — расширение Галуа, то ${\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)}}$ является голоморфной ($\zeta _{K}(s)$ "делит" $\zeta _{L}(s)$). В случае произвольного расширения аналогичное утверждение следует из гипотезу Артина для L-функций

Кроме того, $\zeta _{K}(s)$ является дзета-функцией Хассе-Вейля для $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}$ и мотивной L-функцией мотива, приходящего из когомологии $\operatorname {Spec} K$.

Расширенная гипотеза Римана

Расширенная гипотеза Римана (РГР) утверждает, что для любого алгебраического числового поля $K$ если $s$ — комплексный корень уравнения $\zeta _{K}(s)=0$, лежащий в так называемой критической полосе $0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1$, то его действительная часть $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$.

Обычная гипотеза Римана получается из расширенной для $K=\mathbb {Q} ,{\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z}$.

Из РГР следует эффективная версия[6] теоремы Чеботарёва о плотности: если $L/K$ - конечное расширение Галуа с группой Галуа $G$, и $C$ - множество сопряженных классов $G$, число неразветвленных простых чисел в $K$ с нормой, не превосходящей $x$ с классом сопряженности Фробениуса в $C$ растет как

${\frac {|C|}{|G|}}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\ln x+\ln |D(K)|){\bigr )}{\Bigr )$

причем константа в $O$ абсолютна, $n$ - степень расширения $L$ над $\mathbb {Q}$, а $D(K)$ - дискриминант.

Литература

• Дж.Бернштайн, Ст.Гелбарт. Введение в программу Ленглендса. — Москва - Ижевск, 2008.
• З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. — М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
• Дж.Касселс, А.Фрёлих. Алгебраическая теория чисел. — М.:Мир, 1969.