Гиппократовы луночки

Гиппократовы луночки

Гиппокра́товы лу́ночки — серповидные фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, ограниченные дугами двух окружностей. Их особенность состоит в том, что эти фигуры можно квадрировать, то есть с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им прямоугольники. Гиппократ надеялся на этом пути решить проблему «квадратуры круга», однако существенного прогресса не добился.

Простейший пример

Простейший пример показан на рисунке. Луночка ограничена двумя дугами — полуокружностью с диаметром на гипотенузе $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ и дугой окружности с центром в $C$. При этом площадь заштрихованной луночки равна площади $\triangle ABC$.

Действительно, площадь полукруга $P$ с диаметром $AB$, равна площади сектора $S$ на дуге $AB$ с центром $C$. Следовательно, площадь луночки $P\backslash S$ равна площади треугольника $\triangle ABC=S\backslash P$.

Классификация

Гиппократ получил три квадрируемые луночки. Даниил Бернулли в «Математических упражнениях» (1724) указал условие (см. нижеприведенные отношения углов), которому должны удовлетворять алгебраически квадрируемые луночки, и привёл уравнение, дающее четвёртую квадрируемую луночку. Немного позднее финский математик Валлениус (1766) и независимо от него Леонард Эйлер (1771) тоже обнаружили ту же четвёртую и в дополнение к ней ещё одну, пятую луночку. В 1840 году Томас Клаузен независимо обнаружил и исследовал те же два негиппократовых типа квадрируемых луночек.

Позднее, в 1930-е годы, Н. Г. Чеботарёв и А. В. Дороднов доказали, что если угловые меры внешней и внутренней дуг луночек соизмеримы, то других типов квадрируемых луночек, кроме указанных пяти, не существует. Если обозначить угловые меры внешней и внутренней дуг луночек символами $\alpha ,\beta$, то пяти типам квадрируемых луночек соответствуют следующие отношения $\alpha :\beta$.

• (Луночки Гиппократа) $2:1;\;3:2;\;3:1.$ Углы: (180°:90°), (160,9°:107,2°), (205,6°:68,5°).
• (Прочие) $5:1;\;5:3.$ Углы: (234.4°:46.9°) и (168.0°:100.8°).

Литература

• Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. — 320 с.
• Буницкий Е. Способ построения группы луночек, сумма которых квадрируется (рус.) // В.О.Ф.Э.М.. — 1893. — № 175. — С. 159—161.
• Чеботарев Н. Г. Основы теории Галуа, Часть 1. М.: Эдиториал УРСС, 2004, 224c. ISBN 5-354-00941-3.