Гипотеза Ферма — Каталана

Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение

$a^{m}+b^{n}=c^{k}$

имеет не более чем конечное число решений $a,b,c,m,n,k$ с различными тройками значений $a^{m},b^{n},c^{k}$, где $a,b,c$ — натуральные взаимно простые числа, а $m,n,k$ — натуральные числа, удовлетворяющие соотношению

${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.$

На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения:

$1^{m}+2^{3}=3^{2}$

$2^{5}+7^{2}=3^{4}$

$13^{2}+7^{3}=2^{9}$

$2^{7}+17^{3}=71^{2}$

$3^{5}+11^{4}=122^{2}$

$33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}$

$1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}$

$9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}$

$17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}$

$43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}$

Решение $1^{m}+2^{3}=3^{2}$ — это единственное решение, в котором одно из $a,b,c$ равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-м году Михайлеску.

Все решения были найдены для троек показателей $m,n,k,$ равных $(2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(3,3,4),(3,3,5),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4,n)$.

По теореме Фальтингса для любых фиксированных натуральных $m,n,k$, удовлетворяющих неравенству ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$, существует не более чем конечное число троек $a,b,c$, удовлетворяющих уравнению $a^{m}+b^{n}=c^{k}$, но гипотеза Ферма — Каталана строже, поскольку утверждает конечность числа решений для бесконечного множества троек $m,n,k$.

abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана.

Гипотеза Била состоит в том, что все решения уравнения Ферма — Каталана имеют один из показателей равный 2.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Fermat-Catalan Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи». — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.