Гигантская компонента

Гигантская компонента — эффект, возникающий в схемах случайного размещения частиц по ячейкам при неограниченном росте количества частиц. Эффект заключается в том, что почти все частицы (в процентном отношении) собираются в одной ячейке.

Рассмотрим обобщенную схему размещения n частиц по N ячейкам:

$\eta _{1}+\dots +\eta _{N}=n,\qquad (1)$

Обозначим через $\eta _{(1)}\leq \dots \leq \eta _{(N)}$ вариационный ряд случайных величин $\eta _{1},\dots ,\eta _{N}$. Таким образом, $\;\eta _{(N)}$ — максимальная компонента схемы (или максимальное число частиц в одной ячейке), а $\;\eta _{(N-1)}$ — следующая по величине компонента.

Если при $n\to \infty$ случайная величина $\;\eta _{(N)}/n$ имеет предельное распределение, не имеющее накопления в нуле, а $\;\eta _{(N-1)}/n$ вырождается в ноль, то говорят, что в схеме размещения (1) возникает гигантская компонента.

Известно, например, что в классической схеме размещения гигантской компоненты нет, а в логарифмической схеме, описывающей длины циклов в случайной подстановке, гигантская компонента возникает при $n\to \infty$ так, что $\ln(n)/N\to \infty$, то есть при условии, что параметр $N$ растет медленнее, чем $\ln(n)$.