Ганкелева матрица

Квадратная матрица $A$ порядка $n$ называется ганкелевой матрицей (по имени немецкого математика Г. Ганкеля), если на всех диагоналях, перпендикулярных главной, стоят равные элементы:

$A={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{n}\\a_{2}&a_{3}&a_{4}&\cdots &a_{n+1}\\a_{3}&a_{4}&a_{5}&\cdots &a_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n+1}&a_{n+2}&\cdots &a_{2n-1}\end{pmatrix}},$

то есть в отличие от теплицевой матрицы ганкелева матрица всегда является симметричной. Ганкелевы матрицы полностью определяются элементами $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{2n-1}$. Эти элементы называются образующими ганкелевой матрицы.

Примеры

• Единичная матрица порядка $2$: $E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

• Матрица вида ${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&6\\3&4&5&6&7\\4&5&6&7&8\\5&6&7&8&9\end{pmatrix}}.$

СЛАУ с Ганкелевой матрицей

Для решения систем линейных уравнений с ганкелевой матрицей применяют алгоритм Тренча, имеющий сложность $O(n^{2})$.

См. также

• Матрица Тёплица

Ссылки

• Тыртышников, Е.Е. Теплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения / ответственный редактор чл.-корр. СССР В.В. Воеводин. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 184 с. — 150 экз. Архивная копия от 26 августа 2017 на Wayback Machine

• Robert M. Gray. Toeplitz and Circulant Matrices: A Review. — California, USA: nowpublishers.com, 2000. — 98 с.

• Бабенко, К. И. О теплицевых и ганкелевых матрицах // Успехи математических наук. — 1986. — Т. 41, № 1(247). — С. 171-178.

• Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы : Алгебраич. теория. — М.: Наука, 1974. — 263 с.

• Иохвидов, И. С. О ганкелевых матрицах и формах // Матем. сб.. — 1969. — Т. 80(122), № 2(10). — С. 141-152.

• Пустыльников, Л.Д. . Тёплицевы и ганкелевы матрицы и их применения // Успехи математических наук. — 1984. — Т. 39, № 4(238). — С. 53–84.

• Замарашкин Н.Л., Тыртышников, Е.Е. . Оценки собственных значений для ганкелевых матриц // Матем. сб.. — 2001. — Т. 192, № 4. — С. 59–72.