Википедия:Кандидаты в избранные статьи/Фигурные числа

Кандидат в избранные статьи

Правила обсуждения

На этой странице обсуждается кандидат в избранные статьи русской Википедии.
В ходе обсуждения может быть принято решение о её номинации в хорошие.

Вниманию обсуждающих

От принимающих участие в обсуждении ожидается ответственность в своём выборе: перед голосованием прочитайте статью полностью.

При обсуждении, пожалуйста, придерживайтесь следующих принципов:

Не пишите, что статья или тема статьи не интересна вам или кому-то ещё — с этим ничего не поделаешь: у людей могут быть разные предпочтения. Неаргументированные голоса «против» являются неконструктивными и будут проигнорированы;
Не пишите, что статья написана хорошо, но из-за темы ей не место на заглавной странице: важна не тема, а качество статьи;
Обязательно подписывайтесь;
Если вы хотите отозвать свои замечания (например, потому что недочёты были исправлены), зачеркните их (<s></s>), но не удаляйте;
Если вы сделали замечание по поводу кандидата, посматривайте на его подстраницу, чтобы вовремя зачеркнуть своё замечание, когда недочёт будет устранён;
Соблюдайте спокойствие и доброжелательное отношение к авторам статьи и участникам её обсуждения. Зачастую автор сильно привязан к своему творению, и излишне резкие и/или необоснованные замечания могут его задеть. Критика приветствуется, но будьте конструктивны и корректны.

Вниманию номинаторов статей

Для номинации статьи в Избранные добавьте в её конец (перед категориями) строку {{subst:КИС}};
Будьте внимательны к критике, прислушивайтесь к аргументам и старайтесь доработать статью в процессе обсуждения;
Несмотря на стресс, постарайтесь избегать нападок на обсуждающих: за многократное нарушение ВП:ЭП в обсуждении оно может быть закрыто, а статья отправлена на доработку;
Если статья уже являлась кандидатом, но была отправлена на доработку по любой причине, нужно предоставить ссылку на предыдущее обсуждение.

Процедура обсуждения

Если вы считаете, что статья достойна статуса избранной, нажмите надпись править справа от заголовка «За», проставьте под заголовком (или под оценкой предыдущего участника) нумерованный шаблон {{За}}, поясните причины вашего решения, подпишитесь при помощи четырёх тильд и сохраните страницу.
# {{За}}. Отличная статья. Тема раскрыта полностью. ~~~~	→	1. За. Отличная статья. Тема раскрыта полностью. Пьер Безухов 23:59, 31 декабря 2011 (UTC)

Если вы считаете, что статья не достойна статуса избранной, нажмите надпись править справа от заголовка «Комментарии», укажите конкретные недочёты статьи, подпишитесь при помощи четырёх тильд и сохраните страницу.
#. Тема раскрыта не полностью, не рассказано о роли шушпанчиков в современном искусстве. Статья нуждается в доработке. ~~~~	→	1. Тема раскрыта не полностью, не рассказано о роли шушпанчиков в современном искусстве. Статья нуждается в доработке. Наташа Ростова 23:59, 31 декабря 2011 (UTC)

Если вы хотите прокомментировать статью или ход её обсуждения, нажмите надпись править справа от заголовка «Комментарии», проставьте под заголовком (или под комментарием предыдущего участника) нумерованный шаблон {{Комментарий}}, введите текст вашего комментария, подпишитесь при помощи четырёх тильд и сохраните страницу.
# {{Комментарий}} Хочу заметить, что... ~~~~	→	1. Комментарий: Хочу заметить, что... Поручик Ржевский 23:59, 31 декабря 2011 (UTC)

Фигурные числа[править код]

Фигурные числа — очень древнее мистическое понятие, однако у них имеются многочисленные связи с другими, более современными классами чисел, да и вообще очень красивая теория. Статья прошла рецензирование с 10 по 22 февраля 2021. Все конструктивные замечания будут приняты с благодарностью и по возможности реализованы. Leonid G. Bunich / обс. 10:25, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]

Поддерживаю[править код]

За. Очередная полная статья.— Alexander Mayorov (обс.) 10:42, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]
За. Давно не было математических статей такого качества. — Penumbra^disp. 04:45, 24 февраля 2021 (UTC)[ответить]

Комментарии[править код]

Для начала горячо благодарю adamant.pwn за грандиозный труд по улучшению оформления статьи (а в перспективе — и её содержания). Я опасался, что номинация пройдёт скучно, но, похоже, напрасно. Всё же одно замечание: вы стали выносить завершающие знаки препинания из тегов <math>, однако, как показывает практика, это не приносит пользы, но может принести вред — если этот знак попадает в конец строки текста, то он нередко переносится на новую строку и неприятно портит внешний вид абзаца. Включение знака препинания в теги <math> гарантирует от такого безобразия. Leonid G. Bunich / обс. 15:43, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]

«произведение суммы двух квадратных чисел на любую другую сумму двух квадратных чисел само представимо в виде суммы двух квадратных чисел» — по определению из статьи не всегда. Вот $(1^{2}+1^{2})(1^{2}+1^{2})=4$ $(1^{2}+1^{2})(1^{2}+1^{2})=4$ может быть представлено в виде суммы квадратов только как $2^{2}+0^{2}$ $2^{2}+0^{2}$ , но $0$ $0$ не квадратное число. adamant.pwn — contrib/talk 14:05, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]
- Предлагаю следующую модификацию текста: «Если дополнить ряд квадратных чисел нулём, то имеет место тождество Брахмагупты — Фибоначчи: произведение суммы двух квадратных чисел на любую другую сумму двух квадратных чисел само представимо в виде суммы двух квадратных чисел» и т. д.. Есть возражения? Leonid G. Bunich / обс. 15:43, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]
  - А какие-нибудь источники рассматривают многоугольные числа, дополненные нулём? adamant.pwn — contrib/talk 15:46, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]
    - В OEIS как раз все многоугольные числа начинают с нуля, см., например, A000217 или A000290. Хотя обычно всё же с единицы. Можно бы рассмотреть расширенное определение многоугольного числа, уже существующее автоматически даёт ноль при $n=0,$ $n=0,$ или фиксировать две версии определения. Leonid G. Bunich / обс. 16:10, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]
      - Сделано. Leonid G. Bunich / обс. 12:16, 26 февраля 2021 (UTC)[ответить]

Не хватает ссылок на источники:

Свойства треугольных чисел — неплохо бы иметь источник на каждое свойство (не у всех есть), а лучше — обобщающий, в котором они собраны, непосредственно после слова «свойства»;
Квадратные (про сумму треугольных), шестиугольные (про вычёркивание чётных элементов треугольных чисел), двенадцатиугольные числа (про последнюю цифру в десятичной системе) — то же самое;
То же самое по центрированным числам;

adamant.pwn — contrib/talk 14:21, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]

- Сделано. Leonid G. Bunich / обс. 15:42, 25 февраля 2021 (UTC)[ответить]

В Фигурные числа#Определение, является ли заданное число многоугольным решение по второй задаче хорошо мотивировано и понятно (вот общая формула, преобразуем, смотрим). Решение же к первой как будто сваливается с неба. Было бы хорошо, если бы к не вполне очевидным манипуляциям из этого решения были какие-то комментарии о том, почему выполняются именно они. adamant.pwn — contrib/talk 14:34, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]
- Сделано. Leonid G. Bunich / обс. 16:40, 2 марта 2021 (UTC)[ответить]

По мотивам Фигурные числа#Сводная таблица очень напрашивается отдельный раздел по рядам обратных фигурных чисел. Есть ли какие-то общие методы их суммирования? Все ли из них выражаются в элементарных функциях целых чисел и числа пи? adamant.pwn — contrib/talk 14:44, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]
- Судя по wolframalpha, в общем случае сумма равна ${\textstyle -{\frac {2}{k-4}}\left(\gamma +\psi ({\frac {2}{k-2}})\right)}$ ${\textstyle -{\frac {2}{k-4}}\left(\gamma +\psi ({\frac {2}{k-2}})\right)}$ , где $\gamma$ $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони, $\psi (x)$ $\psi (x)$ — дигамма-функция. В свою очередь из en:Digamma function#Gauss's digamma theorem следует, что это выражение при $k>4$ $k>4$ очень даже выражается в элементарных функциях. При подстановке выходит (надеюсь, ничего не напутал):
  ${\frac {2}{k-4}}\left(\ln 2(k-2)+{\frac {\pi }{2}}\cot({\frac {2\pi }{k-2}})-2\sum \limits _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {k-3}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {4\pi n}{k-2}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{k-2}}\right)\right)$
  ${\frac {2}{k-4}}\left(\ln 2(k-2)+{\frac {\pi }{2}}\cot({\frac {2\pi }{k-2}})-2\sum \limits _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {k-3}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {4\pi n}{k-2}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{k-2}}\right)\right)$
  Интересно, пишут ли об этом в АИ. adamant.pwn — contrib/talk 15:34, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]
  - Даже для ряда обратных кубов теоретическая точная формула суммы неизвестна (см. Постоянная Апери), так что общего метода суммирования пока не существует и, судя по всему, не существует в принципе. Leonid G. Bunich / обс. 15:42, 25 февраля 2021 (UTC)[ответить]
    - Про постоянную Апери я знаю, но здесь ведь не кубы, а многочлены второй степени. Собственно, общий метод выражения этих чисел в элементарных функциях я как раз привёл в комментарии, на который вы ответили, как и формулу через дигамма-функцию… Она, кстати, именно в таком виде в АИ встречается: [1] (формула 23). adamant.pwn — contrib/talk 16:03, 25 февраля 2021 (UTC)[ответить]
    - Сделано. Leonid G. Bunich / обс. 14:07, 5 марта 2021 (UTC)[ответить]

Для центрированных чисел в явном виде указано геометрическое построение. Для классических же оно не указано, хотя определённо есть и продемонстрировано на иллюстрациях, вместо него сразу идёт формальное определение. Было бы неплохо в явном виде прописать геометрическое построение для классических многоугольных чисел. adamant.pwn — contrib/talk 15:03, 22 февраля 2021 (UTC)[ответить]
- Сделано. Leonid G. Bunich / обс. 15:15, 1 марта 2021 (UTC)[ответить]

Я может что-то не понимаю, но используя рекурентную формулу для квадратных чисел, второе квадратное число получается 1 + (4 - 2)*(2 - 1) + 1 = 4, а не 3. Аналогично, чуть выше более хитрая формула, применённая для третьего квадратного числа дает: 4*(3*3 - 3)/2 - 3*3 + 2*3 = 4*6/2 - 9 + 6 = 12 - 3 = 9, но 9 - это пятое квадратное число. Что я делаю не так? — Zanka (обс.) 11:02, 26 февраля 2021 (UTC)[ответить]
- Дошло, но тогда первая картинка неудачна. — Zanka (обс.) 11:04, 26 февраля 2021 (UTC)[ответить]
  - А такая? Leonid G. Bunich / обс. 12:16, 26 февраля 2021 (UTC)[ответить]
    - Такая лучше, спасибо. — Zanka (обс.) 16:45, 27 февраля 2021 (UTC)[ответить]

Итог[править код]

Основные замечания исправлены, статус присвоен. Victoria (обс.) 11:12, 1 апреля 2021 (UTC)[ответить]

Википедия:Кандидаты в избранные статьи/Фигурные числа

Содержание