Вариация отображения

Вариация отображения — числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами.

Понятие «вариация отображения» было определено С. Банахом.

Двухмерный случай

Рассмотрим определение вариации отображения для двухмерного случая.

Пусть дано отображение

$\alpha \colon x=f(u,\;v),\;y=\varphi (u,\;v),$

где $f(u,\;v)$ и $\varphi (u,\;v)$ — непрерывные на квадрате $D_{0}=[0,\;1]\times [0,\;1]$ функции. Говорят, что отображение $\alpha$ имеет ограниченную вариацию, если существует число $M>0$ такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов $D^{i}\subset D_{0}\;(i=1,\;2,\;\ldots )$ со сторонами, параллельными осям координат $u,\;v$, справедливо неравенство

$\sum _{i}\mathrm {mes} \,D_{xy}^{i}\leqslant M,$

где $D_{xy}$ — образ множества $D^{i}\subset D_{0}$ при отображении $\alpha$,

$\mathrm {mes} \,D$ — плоская мера Лебега множества $D$.

Численное значение вариации отображения $V(\alpha )$ может быть определено различными способами. Например, если отображение $\alpha$ имеет ограниченную вариацию, то его вариация $V(\alpha )$ может быть определена по формуле:

$V(\alpha )=\iint \limits _{-\infty }^{\quad +\infty }N(s,\;t)\,ds\,dt,$

где $N(s,\;t)$ — число решений системы $f(u,\;v)=s,\;\varphi (u,\;v)=t$, или так называемая индикатриса Банаха отображения $\alpha$.

Было показано, что если отображение $\alpha$ имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на $D_{0}$ существует обобщённый якобиан $J(P)$, где $P\subset D_{0}$, который интегрируем на $D_{0}$. При этом

$J(P)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\mathrm {mes} \,K\to 0}{\frac {\mathrm {mes} \,K_{xy}}{\mathrm {mes} \,K}},$

где $K\subset D_{0}$ — квадрат, содержащий точку $P\subset D_{0}$, стороны которого параллельны осям $u,\;v$;

$K_{xy}$ — образ множества $K$;

$\mathrm {mes} \,K$ — плоская мера Лебега множества $K$.

Литература

• Лаврентьев, М. А., Шабат, Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Гриффитс, Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. — М.: Мир, 1986. — 360 с.
• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4..