Валюация

Валюация — обобщение понятия меры, обычно определяемое на выпуклых множествах евклидова пространства.

Определение

Пусть $K^{n}$ — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в $\mathbb {R} ^{n}$. Валюация на $K^{n}$ есть функция $v:K^{n}\to \mathbb {R}$ такая, что равенство

$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)$

выполняется для любых $S,T\in K^{n}$ таких, что $S\cup T\in K^{n}$,

Замечания

• Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
• Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого $S\in K^{n}$ выполняется

  $v(S)=v(\phi (S))$

Примеры

Средняя поперечная мера

$k$-ая средняя поредняя поперечная мера $W_{k}(S)$ тела $S\in K^{n}$ определяется как средняя $k$-мерная площадь проекций $S$ на $k$-мерные плоскости.

В частности,

• $W_{n}(S)$ — объём $S$,
• $W_{n-1}(S)$ — пропорциональна площади поверхности $S$.
• $W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Валюация Дирака

Валюация Дирака $\delta _{x}$ точки $x$ определяется как

$\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{если}}~x\notin U\\1&{\text{если}}~x\in U\end{cases}}$

Свойства

• Теорема Хадвигера: любая непрерывная валюация, инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде линейной комбинации поперечных мер.
• Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$, выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрхарта.

Литература

• Семён Алескер Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль