Бинарная группа тетраэдра

В математике бинарная группа тетраэдра (обозначается как 2T или <2,3,3>) — это некоторая неабелева группа 24-го порядка. Группа является расширением тетраэдральной группы T (или (2,3,3)) 12-го порядка циклической группы 2-го порядка и является прообразом группы тетраэдра для 2:1 накрывающего гомоморфизма $\operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)$ специальной ортогональной группы спинорной группой. Отсюда следует, что бинарная группа тетраэдра — дискретная подгруппа группы Spin(3) 24-го порядка.

Бинарную группу тетраэдра проще всего описать как дискретную подгруппу единиц кватернионов при изоморфизме $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$, где Sp(1) — мультипликативная группа единиц кватернионов (см. описание этого гомоморфизма в статье кватернионы и вращение пространства).

Элементы

Граф Кэли группы SL(2,3)

Бинарная группа тетраэдра задается как группа единиц в кольце целых чисел Гурвица. Имеется 24 такие единицы

$\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}$

с любой комбинацией знаков.

Все 24 единицы по абсолютному значению равны 1 и поэтому находятся в группе единиц кватернионов Sp(1). Выпуклая оболочка этих 24 элементов в 4-мерном пространстве образует выпуклый правильный 4-мерный многогранник, называемый 24-ячейкой.

Свойства

Бинарная группа тетраэдра 2T укладывается в короткую точную последовательность

$1\to \{\pm 1\}\to 2T\to T\to 1.$

Эта последовательность не расщепляется в том смысле, что 2T не является полупрямым произведением {±1} на T. Фактически не существует подгруппы 2T изоморфной T.

Бинарная группа тетраэдра является накрывающей группой тетраэдральной группы. Если рассматривать тетраэдральную группу как знакопеременную группу четырёх букв $T\cong A_{4}$, бинарная группа тетраэдра будет накрывающей группой $2T\cong {\widehat {A_{4}}}.$

Центром группы 2T является подгруппа {±1}. Группа внутренних автоморфизмов изоморфна $A_{4}$, а полная группа автоморфизмов изоморфна $S_{4}$.

Умножение слева на −ω, элемент порядка 6, образует четыре орбиты. Сам элемент ω находится в самом низу: ω = (−ω)(−1) = (−ω)⁴

Бинарная группа тетраэдра может быть записана как полупрямое произведение

$2T=Q\rtimes \mathbb {Z} _{3}$

где Q — группа кватернионов, состоящая из 8 единиц Липшица и Z₃, циклическая группа 3-го порядка, образованная ω = −½(1+i+j+k). Группа Z₃ работает на нормальной подгруппе Q как сопряжение. Сопряжение относительно ω — это автоморфизм Q, который циклически вращает i, j и k.

Можно показать, что бинарная группа тетраэдра изоморфна линейной группе SL(2,3) — группе всех 2×2 матриц над конечным полем F₃ с единичным детерминантом.

Задание группы

Группа 2T имеет задание, определяемое формулой

$\langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=rst\rangle$,

что эквивалентно

$\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .$

Генераторы задаются формулой

$s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+j-k).$

Подгруппы

Группа кватернионов, состоящая из 8 единиц Липшица, образует нормальную подгруппу 2T с индексом 3. Эта группа и центр {±1} являются единственными нетривиальными нормальными подгруппами.

Все остальные подгруппы группы 2T являются циклическими группами порядка 3, 4 и 6, образованными различными элементами.

Большие размерности

Поскольку тетраэдральная группа обобщается до группы симметрий вращений n-симплекса (как подгруппы SO(n)), существует соответствующая бинарная группа большего порядка, которая является накрытием 2-многообразия, получаемая из накрытия $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n).$

Группа вращательной симметрии n-симплекса может быть представлена как знакопеременная группа из $n+1$ букв, $A_{n+1},$ и соответствующая бинарная группа является накрывающей группой 2-многообразия. Для всех больших размерностей, за исключением $A_{6}$ и $A_{7}$ (соответствующих 5-мерным и 6-мерным симплексам), эта бинарная группа является накрывающей группой (максимальной накрывающей) и сверхсовершенной, но для размерностей 5 и 6 существует дополнительное особое накрытие 3-многообразия и бинарные группы не являются сверхсовершенными.

Использование в теоретической физике

Бинарная группа тетраэдра использована в контексте теории Янга — Миллса в 1956 году Янгом Чжэньнин. Она впервые использована для построения физической модели Полем Фрэмптоном и Томасом Кефартом в 1994 году . В 2012 году показано, что связь между углами разлёта нейтрино, полученная с помощью бинарной тетраэдральной симметрии, согласуется с теорией.

См. также

• Бинарная группа многогранника
• Бинарная циклическая группа
• Бинарная группа диэдра
• Бинарная группа октаэдра
• Бинарная группа икосаэдра

Литература

• John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions. — Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd, 2003. — ISBN 1-56881-134-9.
• H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups, 4th edition. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9. 6.5 The binary polyhedral groups, p. 68
• E.M. Case, Robert Karplus, C.N. Yang. Strange Particles and the Conservation of Isotopic Spin // Physical Review. — 1956. — Т. 101. — doi:10.1103/PhysRev.101.874.
• Paul H. Frampton, Thomas W. Kephart. Simple Nonabelian Finite Flavor Groups and Fermion Masses // International Journal of Modern Physics. — 1995. — Т. A10.
• David A. Eby, Paul H. Frampton. Nonzero theta(13)signals nonmaximal atmospheric neutrino mixing // Physical Review. — 2012. — Т. D86. — doi:10.1103/physrevd.86.117304. — arXiv:1112.2675.
• David A. Eby, Paul H. Frampton, Shinya Matsuzaki. Predictions for neutrino mixing angles in a T′ Model // Physics Letters. — 2009. — Т. B671. — P. 386—390. — arXiv:0801.4899.