Арифметическая производная

Арифметическая производная (производная Лагариаса, числовая производная) — функция, определённая для целых чисел, основанная на факторизации целых чисел, таким образом, что для неё действует аналог правила произведения для производных. Стандартным обозначением для натурального числа $n$ является $D(n)$; оно определяется следующим образом:

Значения $D(n)$ для первых 10000 значений $n$

• $D(0)=D(1)=0$,
• $D(p)=1$ для любого простого числа $p$,
• $D(ab)=D(a)b+D(b)a$ для любых $a,b\in \mathbb {N}$ (правило произведения).

Область определения может быть расширена на целые числа: пользуясь тем фактом, что $D(1)=0$, устанавливается, что $D(-1)=0$:

$0=D(1)=D((-1)\cdot (-1))=-2\cdot D(-1)\implies D(-1)=0$,

таким образом, для любого целого $n$:

$D(-n)=D((-1)\cdot n)=D(-1)n+(-1)D(n)=-D(n)$.

Для арифметической производной также применимо правило производной частного двух функций (что позволяет расширить область определения до рациональных чисел):

$0=D(1)=D({\frac {a}{a}})=D(a){\frac {1}{a}}+D({\frac {1}{a}})a\implies D({\frac {1}{a}})=-{\frac {D(a)}{a^{2}}}$;

отсюда следует:

$D({\frac {a}{b}})=D(a){\frac {1}{b}}+D({\frac {1}{b}})a={\frac {D(b)a}{b^{2}}}-{\frac {D(a)}{b}}={\frac {D(b)a-D(a)b}{b^{2}}}$

Также применимо и правило производной степени функции:

$D(a^{n})=na^{n-1}D(a)$ для любого целого числа $a$ и $n\geqslant 0$,

$D(p^{n})=np^{n-1}$ для любого простого числа $p$ и любого целого числа $n\geqslant 0$,

$D({\frac {1}{p^{n}}})=-{\frac {n}{p^{n+1}}}$ для любого простого числа $p$.