Анализ функций многих переменных

Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.

Типичные операции

Пределы и непрерывность

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

$f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}$

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы $y=x^{2}$, предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.

Функция $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ имеет пределом число A при стремлении переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$, соответственно, к $a_{1},\ldots ,a_{n}$, если для каждого числа $\varepsilon >0$ найдется такое число $\delta >0$, что $|f(x_{1},\ldots ,x_{n})-A)|<\varepsilon$, то есть $|x_{1}-a_{1}|<\delta ,\ldots ,|x_{n}-a_{n}|<\delta$.

Функция $u=f(M)$ называется непрерывной в точке $A$, если предельное значение этой функции в точке $A$ существует и равно частному значению $f(A)$.

Функция $u=f(M)$ называется непрерывной на множестве ${M}$, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Нахождение частной производной

Основная статья: Частная производная

Понятие частной производной неизбежно возникает при попытке дифференцирования многомерных функции и в геометрическом смысле является производной от её части, на пересекающей в точке определения плоскости, которая в случае рассмотрения декартовой прямоугольной системы координат параллельна плоскости (O,$x_{k}$,f), где О — точка пересечения координатных осей; $x_{k}$ — частный аргумент точки дифференцирования; f — ордината точки. Рассматриваемая производная n-мерной функции будет обозначается как ${\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k}}}$, что есть её дифференцирование по одному из аргументов:

${\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{1}~...~x_{k}+\Delta x_{k}~...~x_{n})-f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\Delta x_{k}}},$

где $x_{k}$ — определенный аргумент; а символ $\partial$ является видоизмененной записью $d_{x}$ и отдельно не употребляется.

Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла ($\nabla$) используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

Кратное интегрирование

Основная статья: Кратный интеграл

Интеграл $\underbrace {\int {\cdots }\int } _{X}f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n}$ называется кратным интегралом, если $n>1$. В случае $n=2$ он называется двойным, в случае $n=3$ — тройным интегралом, а в случае произвольного $n\in N$ — n-кратным. Его обозначают также $\int \limits _{X}f(x)dx$. При такой записи под символом $x$ следует понимать точку $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ пространства $E^{n}$, под символом $dx$ — произведение $dx=dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}$, а под знаком $\int \limits _{D}$ — n-кратный интеграл по n-мерной области $D$.

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции многих переменных. Двойные интегралы могут использоваться для вычисления объемов областей в пространстве. Теорема Тонелли — Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл.

Поверхностный интеграл и криволинейный интеграл используются для интегрирования по многообразиям, таким как поверхности и кривые.

Фундаментальная теорема анализа функций многих переменных

В математическом анализе функций одной переменной фундаментальная теорема устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа:

• Теорема Ньютона — Лейбница
• Теорема Стокса
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Теорема Грина

При более углубленном изучении многомерного математического анализа видно, что эти четыре теоремы — частные случаи более общей теоремы, теоремы Стокса об интегрировании дифференциальных форм.

Применение

Методы многомерного математического анализа используются для изучения многих объектов в физическом мире.

		Область	Применимые методы
Кривые		$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$	Длины кривых, Криволинейные интегралы, и кривизна.
Поверхности		$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$	Площади поверхностей, поверхностные интегралы, поток через поверхности, и кривизна.
Скалярные поля		$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	Максимумы и минимумы, множители Лагранжа, производные по направлениям.
Векторные поля		$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$	Любая из операций векторного анализа, включая градиент, дивергенцию, и ротор.

Многомерный математический анализ может быть применен для анализа детерминированных систем, которые имеют многочисленные степени свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, и многомерный математический анализ обеспечивает средства для того, чтобы охарактеризовать системную динамику.

Многомерный математический анализ используется во многих областях естествознания, социологии и инженерии для моделирования и изучения высоко-размерных систем, которые показывают детерминированное поведение. Недетерминированные, или стохастические (случайные) системы могут быть изучены, используя другой вид математики, такой как стохастическое исчисление.

См. также

• Векторный анализ
• Интеграл
• Производная (обобщения)

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Глава пятая. Функции нескольких переменных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Т. 1.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Кудрявцев, Л. Д. Главы 4, 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных // Краткий курс математического анализа. — Т. 2.
• Выгодский М.Я. Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике.

Ссылки

• Онлайн Калькулятор Пределов
• Онлайн Калькулятор Производных
• Онлайн Калькулятор Интегралов