Алгоритм исчисления порядка

Алгоритм исчисления порядка (index-calculus algorithm) — вероятностный алгоритм вычисления дискретного логарифма в кольце вычетов по модулю простого числа. На сложности нахождения дискретного логарифма основано множество алгоритмов связанных с криптографией. Так как для решения данной задачи с использованием больших чисел требуется большое количество ресурсов, предоставить которые не может ни один современный компьютер. Примером такого алгоритма является ГОСТ Р 34.10-2012.

История

Маурис Крайчик первым предложил основную идею данного алгоритма в своей книге «Théorie des Nombres» в 1922 году. После 1976 года задача дискретного логарифмирования становится важной для математики и криптоанализа. Это связано с созданием криптосистемы Диффи-Хелмана. В связи с этим в 1977 году Р.Меркле возобновил обсуждения данного алгоритма. Спустя два года он был впервые опубликован коллегами Меркеля. Наконец в 1979 году Адлерман оптимизировал его, исследовал трудоемкость и представил его в форме, которую мы знаем сейчас. В настоящее время алгоритм исчисления порядка и его улучшенные варианты дают наиболее быстрый способ вычисления дискретных логарифмов в некоторых конечных группах.

Постановка задачи дискретного логарифмирования

Для заданного простого числа $p$ и двух целых чисел $g$ и $c$ требуется найти целое число $x$, удовлетворяющее сравнению:

$g^{x}\equiv c\;{\pmod {p}},$

где $c$ является элементом циклической группы $G$, порожденной элементом $g$.

Алгоритм

Вход: g — генератор циклической группы порядка n, a — из циклической подгруппы, p — простое число, c — параметр надёжности, обычно берут равным 10 или близкое к этому значению число (используется для реализации алгоритма на компьютере, если решает человек, то его не задают).

Задача: найти x такое, что $g^{x}\equiv c$.

1. Выбираем факторную базу S = {p₁, p₂, p₃, …, p_t} (Если G = Z^*_p, то база состоит из t первых простых чисел).
2. Возводим g в случайную степень k, где k такое, что $0\leqslant k<n$. Получаем $g^{k}$.
3. Представляем g^k следующим образом:

   $g^{k}=\prod _{i=1}^{t}p_{i}^{a_{i}},$

   где $a_{i}\geqslant 0$ (то есть пытаемся разложить его по факторной базе). Если не получается, то возвращаемся ко 2-му пункту.

4. Из пункта 3 следует выражение

   $k\equiv \sum _{i=1}^{t}a_{i}\log _{g}p_{i}\mod n,$

   полученное путём логарифмирования (берётся сравнение по модулю порядка группы, так как мы работаем с показателем степени, а $g^{n}\equiv 1$ в группе G). В этом выражении неизвестны логарифмы. Их t штук. Необходимо получить таких уравнений t + c штук, если этого не возможно сделать, возвращаемся к пункту 2 (при реализации на компьютере) или получить необходимое количество уравнений, чтобы найти все неизвестные логарифмы (при решении человеком).

5. Решаем получившуюся систему уравнений, с t неизвестными и t + c сравнениями.
6. Выбираем случайное число k такое, что $0\leqslant k<n$. Вычисляем $cg^{k}$.
7. Повторяем пункт 3, только для числа $cg^{k}$. Если не получается, то возвращаемся к 6-му пункту.
8. Аналогично пункту 4, получаем:

   $x=\log _{g}c=\sum _{i=1}^{t}a_{i}\log _{g}p_{i}-k\mod n$, где $\log _{g}p_{i}$ ($1\leqslant i\leqslant t$), где $k=\log _{g}g^{k}\mod n$. В этом пункте мы и решили задачу дискретного логарифма, отыскав $x=\log _{g}c$.

Выход: $x=\log _{g}c$.

Пример

Решить уравнение: $17\equiv 10^{x}\;(mod47)$

Выбираем факторную базу $S=\{2,3,5\}$ Пусть k = 7 Вычисляем $g^{k}$

$k=1\;\;\;\;10^{1}mod47=10=2*5$

$k=2\;\;\;\;10^{2}mod47\equiv 6=2*3$

$k=3\;\;\;\;10^{3}mod47\equiv 13$

$k=4\;\;\;\;10^{4}mod47\equiv 36=2*2*3*3$

$k=5\;\;\;\;10^{5}mod47\equiv 31$

$k=6\;\;\;\;10^{6}mod47\equiv 28=2*2*7$

$k=7\;\;\;\;10^{7}mod47\equiv 45=3*3*5$

Логарифмируем и обозначаем $U_{i}=log_{g}p_{i}$ И получаем систему уравнений $\left\{{\begin{matrix}U_{1}+U_{3}=1\\U_{1}+U_{2}=2\\2U_{1}+2U_{2}=4\\2U_{2}+U_{3}=7\end{matrix}}\right.$

Решаем её

$u_{2}={\frac {8}{3}}(mod46)=8*3^{-1}(mod46)=\{\varphi (46)=\varphi (2*23)\}=22=8*3^{21}(mod46)\equiv 18$

Действительно, $10^{18}mod47\equiv 3$, следовательно $U_{1}=30$, $U_{2}=18$, $U_{3}=17$

Находим k такое, чтобы $cg^{k}={\displaystyle \prod _{i=1}^{t}p_{i}^{a_{i}}}$

$17*10^{1}(mod47)=29$

$17*10^{2}(mod47)=8=2*2*2$

Следовательно $k=2$

Логарифмируем данное выражение и получаем

$log_{a}17=[(log_{a}2+log_{a}2+log_{a}2)-2]mod46=(3*30-2)mod46\equiv 42$

Ответ: $x=42$

Сложность

В данном алгоритме, количество итераций зависит, как от размера p, так и от размера факторной базы. Но факторную базу мы выбираем заранее, и её размер является фиксированным. Поэтому итоговая сложность определяется только размером простого числа и равняется: $O(c_{1}*2^{(c_{2}+o(1)){\sqrt {logp\;loglogp}}})$ , где $c_{1}$,$c_{2}$ — некоторые константы, зависящие от промежуточных вычислений, в частности, от выбора факторной базы.

Усовершенствования

Ускоренный алгоритм исчисления порядка, суть которого состоит в том, чтобы использовать таблицу индексов.

Сложность

Вычислительная сложность снижена до $O(2log_{2}(p))$, по сравнению с оригинальном алгоритмом.

См. также

• Дискретное логарифмирование
• Алгоритм Полига — Хеллмана
• Ρ-алгоритм Полларда
• Алгоритм COS

Ссылки

• http://refdb.ru/look/1629414-pall.html
• http://pratsi.opu.ua/app/webroot/articles/1414145386.pdf
• https://en.wikipedia.org/wiki/Index_calculus_algorithm