Алгоритм Малхотры — Кумара — Махешвари

Алгоритм Малхотры — Кумара — Махешвари позволяет находить максимальный поток в графе.

Описание

Рассматривается транспортная сеть, состоящая из ориентированного графа $G=(V,\;E)$, где $V$ — множество вершин, $E$ — множество рёбер, и потока $f$. Для каждой вершины $v\in V$ вводится потенциал потока, равный максимальному дополнительному потоку, который может пройти через эту вершину. Далее следует цикл. На каждой его итерации определяется вершина $r$ с минимальным потенциалом $\rho$. Затем пускается поток величины $\rho$ из истока в сток, проходящий через эту вершину. При этом, если остаточная пропускная способность ребра равна нулю, то это ребро удаляется. Также удаляются все вершины, у которых не остаётся ни одного входящего и/или ни одного выходящего ребра. При удалении вершины все смежные рёбра удаляются. Таким образом будет найден блокирующий (псевдомаксимальный) поток. Для того, чтобы найти максимальный поток в графе, нужно выполнять поиск блокирующего потока и затем соответствующим образом изменять граф, и так до тех пор, пока блокирующий поток не окажется равным нулю.

Сложность

Если информация о входящих и исходящих дугах будет храниться в виде связных списков, то для того, чтобы пропустить поток, на каждой итерации будет выполнено $O(\left|V\right|+\left|E_{i}\right|)$ действий, где $\left|V\right|$ соответствует числу рёбер, для которых остаточная пропускная способность уменьшилась, но осталась положительной, а $\left|E_{i}\right|$ — числу удалённых рёбер. Таким образом, для поиска блокирующего потока будет выполнено $\sum _{i}{O(\left|V\right|+\left|E_{i}\right|)}=O(\left|V\right|^{2})$ действий. Поиск блокирующего потока будет выполнен $O(\left|V\right|)$ раз, так как количество рёбер на пути от истока к стоку в блокирующем потоке будет не убывать. Тогда всего получается $O(\left|V\right|^{3})$ действий.

Литература

• Malhotra V. M., Kumar M. Pramodh, Maheshwari S. N. An O(IVI³) algorithm for finding maximum flows in networks (англ.). — 1978.