Алгоритм Бута

Алгоритм умножения Бута — это алгоритм умножения, который позволяет перемножить два двоичных числа в дополнительном коде. Алгоритм был разработан Эндрю Дональдом Бутом в 1951 году при проведении исследований в области кристаллографии в колледже им. Дж. Бирбека в Блумсбери (Лондон). Бут пользовался настольными вычислителями, которые выполняли операцию сдвига быстрее, чем операцию сложения, и создал алгоритм для увеличения скорости их работы. Алгоритм Бута представляет интерес при изучении архитектуры компьютера.

Алгоритм

Алгоритм Бута включает в себя циклическое сложение одного из двух заранее установленных значений $A$ и $S$ с произведением $P$, а затем выполнение арифметического сдвига вправо над $P$.
Пусть $m$ и $r$ — множимое и множитель соответственно, а $x$ и $y$ представляют собой количество битов в $m$ и $r$ соответственно.

1. Установить значения $A$ и $S$, а также начальное значение $P$. Каждое из этих чисел должно иметь длину, равную ($x+y+1$).
   1. $A$: Заполнить наиболее значимые (левые) биты значением $m$. Заполнить оставшиеся ($y+1$) бит нулями.
   2. $S$: Заполнить наиболее значимые биты значением ($-m$) в дополнительном коде. Заполнить оставшиеся ($y+1$) бит нулями.
   3. $P$: Заполнить наиболее значимые $x$ бит нулями. Справа от них заполнить биты значением $r$. Записать $0$ в крайний наименее значимый (правый) бит.
2. Определить значение двух наименее значимых (правых) битов $P$ и вычислить по ним значение для следующего шага:
   1. Если их значение равно $01_{2}$, прибавить $A$ к $P$. Переполнение игнорировать.
   2. Если их значение равно $10_{2}$, прибавить $S$ к $P$. Переполнение игнорировать.
   3. Если их значение равно $00_{2}$, действие не требуется. $P$ используется без изменений на следующем шаге.
   4. Если их значение равно $11_{2}$, действие не требуется. $P$ используется без изменений на следующем шаге.
3. Выполнить операцию арифметического сдвига над значением, полученным на втором шаге, на один бит вправо. Присвоить $P$ это новое значение.
4. Повторить шаги 2 и 3 $y$ раз.
5. Отбросить крайний наименее значимый (правый) бит $P$. Это и есть произведение $m$ и $r$.

Пример

Вычислить $3\times (-4)$. В этом случае $m=3,\ r=(-4),\ x=4,\ y=4$:

• $A=0011\ 0000\ 0$
• $S=1101\ 0000\ 0$
• $P=0000\ 1100\ 0$
• Выполним цикл 4 раза :
  1. P = 0000 1100 0. Крайние два бита равны 00.
     • P = 0000 0110 0. Арифметический сдвиг вправо.
  2. P = 0000 0110 0. Крайние два бита равны 00.
     • P = 0000 0011 0. Арифметический сдвиг вправо.
  3. P = 0000 0011 0. Крайние два бита равны 10.
     • P = 1101 0011 0. P = P + S.
     • P = 1110 1001 1. Арифметический сдвиг вправо.
  4. P = 1110 1001 1. Крайние два бита равны 11.
     • P = 1111 0100 1. Арифметический сдвиг вправо.
• Произведение равно 1111 0100 (−12 в десятичной системе)

Вышеупомянутой техники недостаточно, когда множимое является наибольшим по модулю отрицательным числом, которое может быть представлено в текущей разрядной сетке (например, если размер множимого 4 бита, то это значение равно $(-8)$). Один из возможных способов решить эту проблему — добавить один дополнительный бит слева от $A$, $S$ и $P$. Ниже мы покажем усовершенствованную технику на примере умножения $(-8)$ на 2 используя по 4 бита под множимое и множитель:

• $A=1\ 1000\ 0000\ 0$
• $S=0\ 1000\ 0000\ 0$
• $P=0\ 0000\ 0010\ 0$
• Выполним цикл 4 раза :
  1. P = 0 0000 0010 0. Крайние два бита равны 00.
     • P = 0 0000 0001 0. Арифметический сдвиг вправо.
  2. P = 0 0000 0001 0. Крайние два бита равны 10.
     • P = 0 1000 0001 0. P = P + S.
     • P = 0 0100 0000 1. Арифметический сдвиг вправо.
  3. P = 0 0100 0000 1. Крайние два бита равны 01.
     • P = 1 1100 0000 1. P = P + A.
     • P = 1 1110 0000 0. Арифметический сдвиг вправо.
  4. P = 1 1110 0000 0. Крайние два бита равны 00.
     • P = 1 1111 0000 0. Арифметический сдвиг вправо.
• После отбрасывания крайних бит получаем значение произведения: 11110000 (−16 в десятичной системе).

Как это работает

Рассмотрим положительный множитель, состоящий из блока единиц, окружённых нулями, например 00111110. Произведение определяется по формуле :

$M\times 00111110_{2}=M\times (2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1})=M\times 62$

где $M$ — множимое. Количество операций может быть уменьшено вдвое, если представить произведение следующим образом :

$M\times (1000000_{2}-10_{2})=M\times (2^{6}-2^{1})=M\times 62.$

На самом деле, можно показать, что любая последовательность единиц в двоичном числе может быть разбита на разность двух двоичных чисел:

$(\ldots 0\overbrace {1\ldots 1} ^{n}0\ldots )_{2}\equiv (\ldots 1\overbrace {0\ldots 0} ^{n}0\ldots )_{2}-(\ldots 0\overbrace {0\ldots 1} ^{n}0\ldots )_{2}.$

Таким образом, мы действительно можем заменить операцию умножения на последовательность единиц в исходном числе более простыми операциями: сложение со множителем, сдвиг частичного произведения, вычитание множителя. Алгоритм использует тот факт, что нам не нужно делать ничего кроме сдвига, когда очередной разряд в двоичном множителе равен нулю, а также простое математическое свойство: 99 = 100 − 1 при умножении на 99.

Эта схема может быть распространена на любое количество блоков единиц в множителе (включая случай одной единицы в блоке). Таким образом,

$M\times 00111010_{2}=M\times (2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{1})=M\times 58$

$M\times (1000000_{2}-110_{2})=M\times (2^{6}-(2^{2}+2^{1}))=M\times 58$

Алгоритм Бута следует этой схеме путём выполнения сложения, когда встречается первая цифра блока единиц (0 1), и вычитания, когда встречается конец блока единиц (1 0). Схема работает в том числе и для отрицательного множителя. Когда единицы в множителе сгруппированы в длинные блоки, алгоритм Бута выполняет меньше сложений и вычитаний, чем обычный алгоритм умножения.

Ссылки

• Radix-4 Booth Encoding
• Radix-8 Booth Encoding in A Formal Theory of RTL and Computer Arithmetic
• Booth’s Algorithm
• Booth’s Algorithm JavaScript Simulator
• Booth Multiplier Implementation in Verilog

Источники

1. Оригинальная статья Booth’s multiplication algorithm
2. Andrew D. Booth. A signed binary multiplication technique. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, Volume IV, Pt. 2 [1]
3. Collin, Andrew. Andrew Booth’s Computers at Birkbeck College. Resurrection, Issue 5, Spring 1993. London: Computer Conservation Society.
4. Patterson, David and John Hennessy. Computer Organization and Design: The Hardware/Software Interface, Second Edition. ISBN 1-55860-428-6. San Francisco, California: Morgan Kaufmann Publishers. 1998.
5. Stallings, William. Computer Organization and Architecture: Designing for performance, Fifth Edition. ISBN 0-13-081294-3. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.. 2000.