Аксиомой бесконечности (англ. axiom of infinity ) называется следующее высказывание теории множеств :
∃
a
(
∅
∈
a
∧
∀
b
(
b
∈
a
→
b
∪
{
b
}
∈
a
)
)
{\displaystyle \exists a\ (\varnothing \in a\ \land \ \forall b\ (b\in a\to b\cup \{b\}\in a)\ )}
, где
b
∪
{
b
}
=
{
c
:
c
∈
b
∨
c
=
b
}
{\displaystyle b\cup \{b\}=\{c:\ c\in b\ \lor \ c=b\}}
Из аксиомы бесконечности следует существование [по меньшей мере одного] бесконечного множества .
Другие формулировки аксиомы бесконечности [ править | править код ]
∃
a
∞
(
∃
a
∅
(
a
∅
∈
a
∞
∧
∀
b
(
b
∉
a
∅
)
)
∧
∀
b
∃
c
∀
d
(
b
∈
a
∞
→
(
c
∈
a
∞
∧
(
d
∈
c
↔
d
∈
b
∨
d
=
b
)
)
)
)
{\displaystyle \exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\exists c\forall d\ (b\in a_{\infty }\to (c\in a_{\infty }\ \land \ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))}
∃
a
∞
(
∃
a
∅
(
a
∅
∈
a
∞
∧
∀
b
(
b
∉
a
∅
)
)
∧
∀
b
∀
c
∃
d
(
b
∈
a
∞
→
(
(
d
∈
c
↔
d
∈
b
∨
d
=
b
)
→
c
∈
a
∞
)
)
)
{\displaystyle \exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\forall c\exists d\ (b\in a_{\infty }\to ((d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b)\to c\in a_{\infty })))}
0. Индуктивные высказывания
Примеры
∃
a
(
∅
∈
a
∧
∀
b
(
b
∈
a
→
{
b
}
∈
a
)
)
{\displaystyle \exists a\ (\varnothing \in a\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \{b\}\in a))}
, где
{
b
}
{\displaystyle \{b\}}
— множество, единственным элементом которого является
b
{\displaystyle b}
.
∃
a
(
∅
∈
a
∧
∀
b
(
b
∈
a
→
P
(
b
)
∈
a
)
)
{\displaystyle \exists a\ (\varnothing \in a\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to {\mathcal {P}}(b)\in a))}
, где
P
(
b
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(b)}
— булеан множества
b
{\displaystyle b}
1. О выводимости аксиомы бесконечности из других высказываний
2. О единственности «бесконечного множества»
3. Прочее