Ёмкость Минковского

Ёмкость Минковского — основное понятие в геометрической теории меры, обобщающее на произвольные измеримые множества понятия длины кривой на плоскости и площади поверхности в пространстве.

Ёмкость обычно применяется для фрактальных границ областей в евклидовом пространстве, но имеет смысл в контексте общих метрических пространств с мерой.

Названа в честь Германа Минковского.

Определение

Пусть $(X,\mu ,d)$ метрическое пространство с мерой, где $d$ является метрикой на $X$, а $\mu$ — это борелевская мера. Для подмножества $A$ в $X$ и вещественного ε > 0, обозначим через

$A_{\varepsilon }=\{x\in X\,|\,d(x,A)<\varepsilon \}$

его замкнутую $\varepsilon$-окрестность. Нижняя ёмкость Минковского коразмерности $k$ определяется как нижний предел

$M_{*}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon ^{k}}},$

и верхняя ёмкость Минковского коразмерности $k$ как верхий предел

$M^{*}(A)=\limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon ^{k}}}.$

Если $M^{*}(A)=M_{*}(A)$, то их общее значение называется ёмкостью Минковского коразмерности $k$ A по мере μ, и обозначается $M(A)$.

Свойства

• Если $A$ есть замкнутое $n$-спрямляемое множество в $\mathbb {R} ^{n+k}$, то ёмкость Минковского $A$ по отношению к объёму на $\mathbb {R} ^{n+k}$ существует и совпадает с его $n$-мерной мерой Хаусдорфа с точностью до нормализации.

См. также

• Размерность Минковского

Ссылки

• Федерер, Герберт, Геометрическая теория меры.