Характер (теория чисел)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных[англ.] характеров на обратимых элементах . Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством

где sкомплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана.

Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле.

Аксиоматическое определение

[править | править код]

Характер Дирихле — это любая функция на множестве целых чисел с комплексными значениями, имеющая следующие свойства[1]:

  1. Существует положительное целое число k, такое что для любых n.
  2. Если n и k не взаимно просты, то ; если же они взаимно просты, .
  3. для любых целых m и n.

Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3) . Поскольку НОД(1, k) = 1, свойство 2) гласит, что , так что

  1. .

Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле является вполне мультипликативным[англ.] характером.

Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что

  1. если , то .

Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что (где является функцией Эйлера). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), , а по свойству 3) . Следовательно,

  1. Для всех a, взаимно простых с k, является -ым комплексным корнем из единицы,

то есть для некоторого целого .

Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.

  • Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с , называется главным:
    [2].
    • В группе характеров по модулю он играет роль единицы.

Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплексным[3]

Знак характера зависит от его значения в точке −1. Говорят, что нечётный, если , и чётный, если .

Построение через классы вычетов

[править | править код]

Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах группы характеров[англ.] группы обратимых элементов кольца как расширенные характеры классов вычетов[4].

Классы вычетов

[править | править код]

Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k: То есть класс вычетов является классом смежности n в факторкольце .

Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка , где умножение в группе задаётся равенством , а снова означает функцию Эйлера. Единицей в этой группе служит класс вычетов , а обратным элементом для является класс вычетов , где , то есть . Например, для k=6 множеством обратимых элементов является , поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.

Группа характеров состоит из характеров классов вычетов. Характер класса вычетов на примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что факторизуются как [5].

Характеры Дирихле

[править | править код]

Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен характером[англ.] группы обратимых элементов по модулю k[6]: группа гомоморфизмов из в ненулевые комплексные числа

,

со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем поднять[англ.] до вполне мультипликативной[англ.] функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k. Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле[7].

Главный характер по модулю k имеет свойства [7]

при НОД(n, k) = 1 и
при НОД(n, k) > 1.

Ассоциированный характер мультипликативной группе является главным характером, который всегда принимает значение 1[8].

Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах.

Имеется характеров Дирихле по модулю n[7].

  • Для любого нечётного модуля символ Якоби является характером по модулю .
  • Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.

Некоторые таблицы характеров

[править | править код]

Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры являются главными характерами.

По модулю 1

[править | править код]

Существует характер по модулю 1:

  0  
1

Это тривиальный характер.

По модулю 2

[править | править код]

Существует характер по модулю 2:

  0     1  
0 1

Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.

По модулю 3

[править | править код]

Есть характера по модулю 3:

  0     1     2  
0 1 1
0 1 −1

Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.

По модулю 4

[править | править код]

Существует характера по модулю 4:

  0     1     2     3  
0 1 0 1
0 1 0 −1

Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.

L-ряд Дирихле для равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле)

,

где является дзета-функцией Римана. L-ряд для является бета-функцией Дирихле

По модулю 5

[править | править код]

Существует характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из .

  0     1     2     3     4  
0 1 1 1 1
0 1 i −i −1
0 1 −1 −1 1
0 1 i i −1

Заметим, что полностью определяется значение , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.

По модулю 6

[править | править код]

Существует характеров по модулю 6:

  0     1     2     3     4     5  
0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 −1

Заметим, что полностью определяется значением, поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.

По модулю 7

[править | править код]

Существует характеров по модулю 7. В таблице ниже

  0     1     2     3     4     5     6  
0 1 1 1 1 1 1
0 1 −1
0 1 1
0 1 1 −1 1 −1 −1
0 1 1
0 1 −1

Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.

По модулю 8

[править | править код]

Существует характеров по модулю 8.

  0     1     2     3     4     5     6     7  
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 −1 0 −1
0 1 0 −1 0 1 0 −1
0 1 0 −1 0 −1 0 1

Заметим, что полностью определяется значениями и , поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.

По модулю 9

[править | править код]

Существует характеров по модулю 9. В таблице ниже

  0     1     2     3     4     5     6     7     8  
0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 0 0 −1
0 1 0 0 1
0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1
0 1 0 0 1
0 1 0 0 −1

Заметим, что полностью определяется значением, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.

По модулю 10

[править | править код]

Существует характеров по модулю 10.

  0     1     2     3     4     5     6     7     8     9  
0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 i 0 0 0 i 0 −1
0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1
0 1 0 i 0 0 0 i 0 −1

Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.

Если p является нечётным простым числом, то функция

где является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю p[9].

Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция

где является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю m[9].

Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — Якоби[10].

Примитивные характеры и кондуктор

[править | править код]

При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если является характером по модулю M, он индуцирует характер по модулю N для любого N, кратного M. Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю[3].

Если – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для , если для всех a, взаимно простых с n и 1 mod d[11]: характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля[12].

Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров и как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N1 и N2 оба делят N, мы имеем для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер , порождённый как , так и . Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.

Непримитивность характеров может привести к отсутствию эйлеровых множителей[англ.] в их L-функциях.

Ортогональность характеров

[править | править код]

Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле[13].

Если мы зафиксируем характер по модулю n, то

,

если не главный характер, иначе сумма равна .

Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт

,

кроме случая a=1, когда сумма равна .

Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле[14].

Характеры Дирихле вместе с их -рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для и в основном когда стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.

Примечания

[править | править код]
  1. Montgomery, Vaughan, 2007, с. 117-8.
  2. Montgomery, Vaughan, 2007, с. 115.
  3. 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007, с. 123.
  4. Fröhlich, Taylor, 1991, с. 218.
  5. Fröhlich, Taylor, 1991, с. 215.
  6. Apostol, 1976, с. 139.
  7. 1 2 3 Apostol, 1976, с. 138.
  8. Apostol, 1976, с. 134.
  9. 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007, с. 295.
  10. Montgomery, Vaughan, 2007, с. 296.
  11. Apostol, 1976, с. 166.
  12. Apostol, 1976, с. 168.
  13. Apostol, 1976, с. 140.
  14. Davenport, 1967, с. 31–32.

Литература

[править | править код]
  • Apostol T. M. Introduction to analytic number theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90163-3.
  • Apostol T. M. Some properties of completely multiplicative arithmetical functions // The American Mathematical Monthly. — 1971. — Т. 78, вып. 3. — С. 266–271. — doi:10.2307/2317522. — JSTOR 2317522.
  • Harold Davenport. Multiplicative number theory. — Chicago: Markham, 1967. — Т. 1. — (Lectures in advanced mathematics).
    • Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Наука», 1971.
  • Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. — 2nd revised. — Springer-Verlag. — Т. 59. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). см. главу 13.
    • Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: Иностранной литературы, 1953.
  • Mathar, R. J. (2010). "Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli". arXiv:1008.2547 [math.NT].
  • Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. Multiplicative number theory. I. Classical theory. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 97. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 0-521-84903-9.
    • Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Мир», 1974.
  • Robert Spira. Calculation of Dirichlet L-Functions // Mathematics of Computation. — 1969. — Т. 23, вып. 107. — С. 489–497. — doi:10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X.
  • Fröhlich A., Taylor M.J. Algebraic number theory. — Cambridge University Press, 1991. — Т. 27. — (Cambridge studies in advanced mathematics). — ISBN 0-521-36664-X.

Литература

[править | править код]
  • Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
  • Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.