Теорема Прохорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Прохорова связывает равномерную плотность мер с относительной компактностью (и, следовательно, слабой сходимостью) в пространстве вероятностных мер. Названа в честь Юрия Васильевича Прохорова, который рассматривал вероятностные меры на полных сепарабельных метрических пространствах. Термин теорема Прохорова также применим к вариациям и обобщениям этой теоремы.

Формулировка

[править | править код]

Пусть сепарабельное метрическое пространство. Обозначим через пространство всех вероятностных мер, определенных на борелевской сигма-алгебре . Тогда

  1. Множество вероятностных мер равномерно плотно тогда и только тогда, когда замыкание секвенциально компактно в пространстве, оснащенном топологией слабой сходимости.
  2. Пространство с топологией слабой сходимости метризуемо.
  3. Предположим дополнительно, что полное (иначе говоря, польское пространство). Тогда существует полная метрика на , задающая топологию слабой сходимости. Более того, подмножество равномерно плотно тогда и только тогда, когда замыкание в компактно.