Семейство (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Семейство или индексированное семейство — некоторая совокупность объектов, каждый из которых ассоциирован с индексом из некоторого индексного множества. Более формально, индексированное семейство представляет собой некоторую математическую функцию вместе с её областью определения и областью значений . Множество в таких обозначениях называется индексным (или просто индексом), а  — индексированным множествами семейства.

Определение

[править | править код]

Пусть и  — некоторые множества, а  — сюръективная функция

Такое описание задаёт семейство элементов индексированное множеством , что также обозначается как или просто . Индексное множество при этом не обязано быть счётным.

Индексная нотация

[править | править код]

При использовании индексной нотации индексированные элементы образуют семейство. Например, в следующем высказывании:

  • Векторы линейно независимы.

Неявно вводится семейство векторов . При этом важно, что речь идёт именно о семействе, а не о множестве, так как множества не упорядочены и говорить об -м элементе множества было бы бессмысленно без заданной индексации. Кроме того, линейная независимость это свойство всей совокупности объектов, поэтому важно, что речь идёт именно о семействе, а не множестве векторов.

В следующем высказывании:

Как и в предыдущем высказывании, строки матрицы рассматриваются именно как семейство, а не как множества. Например, для следующей матрицы:

Множество её строк состоит из единственного элемента и является линейно независимым, но матрица вырождена. В то же время семейство строк содержит два элемента и является линейно зависимым.

Прочие примеры

[править | править код]

Пусть через обозначается конечное множество , где  — положительное целое число.

Операции над семействами

[править | править код]

Индексированные множества часто используются в суммах и подобных операциях. Например, если  — это семейство чисел, то сумма всех таких чисел обозначается как

Если  — семейство множеств, то объединение всех элементов семейства обозначается как

Аналогичным образом могут быть записаны пересечения и декартовы произведения всех элементов семейства.

В теории категорий

[править | править код]

Аналогом семейства в теории категорий являются диаграммы. Диаграмма — это функтор, определяющий семейство объектов категории , индексированное некоторой другой категорией , который также индексирует морфизмы категории.

Литература

[править | править код]
  • Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).