Род целой функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определение

[править | править код]

Пусть последовательность нулей целой функции такова, что ряд сходится при , где  — некоторое неотрицательное целое число (без ограничения общности будем считать, что это число — наименьшее из обладающих таким свойством). Тогда бесконечное произведение из формулировки теоремы Вейерштрасса приобретает вид:

Если  — многочлен степени , то называется целой функцией конечного рода, а число называется родом целой функции. Если  — не многочлен, либо ряд не сходится ни при каких условиях, тогда  — целая функция бесконечного рода.

Теорема Пуанкаре о скорости роста целой функции

[править | править код]

Важность такой характеристики, как род, состоит в том, что с её помощью можно оценить скорость роста целой функции. А именно, рассмотрим величину . Утверждение теоремы Пуанкаре состоит в том, что скорость роста этой функции связана с её родом. А именно, для целой функции рода и произвольного существует такое , что при выполняется неравенство .