Простое число Вольстенхольма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории чисел простым числом Вольстенхольма называется всякое простое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первым доказал теорему в XIX веке.

Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремой Ферма.

Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS). Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 109, нет[1].

Определения

[править | править код]
Нерешённые проблемы математики: Имеются ли простые числа Вольстенхольма, отличные от 16843 и 2124679?

Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.

Через биномиальные коэффициенты

[править | править код]

Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению

где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент[2]. Сравните с теоремой Вольстенхольма, которая утверждает, что для любого простого p > 3 выполняется следующее сравнение:

Через числа Бернулли

[править | править код]

Простое число Вольстенхольма — это простое число p, делящее (без остатка) числитель числа Бернулли Bp−3[3][4][5]. Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простых чисел.

Через иррегулярные пары

[править | править код]

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что (p, p-3) является иррегулярной парой[6][7].

Через гармонические числа

[править | править код]

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что[8]

то есть числитель гармонического числа делится на p3.

Поиск и текущее состояние

[править | править код]

Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде[9]. Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в 1970-х годах. Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году[10]. В то время вплоть до 1,2⋅107 не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двух[11]. Позднее граница была поднята до 2⋅108 Макинтошем (McIntosh) в 1995 году[4], а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5⋅108[12]. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1⋅109 так и не нашли простых чисел Вольстенхольма[13].

Ожидаемое количество

[править | править код]

Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих x простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x, где ln обозначает натуральный логарифм. Для любого простого числа p ≥ 5 частным Вольстенхольма называется

Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда Wp ≡ 0 (mod p). Из эмпирических наблюдений можно предположить, что остаток Wp по модулю p равномерно распределён на множестве {0, 1, …, p-1}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/p[4].

Примечания

[править | править код]
  1. Weisstein, Eric W. Wolstenholme prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Cook, J. D. Binomial coefficients. Дата обращения: 21 декабря 2010. Архивировано 29 января 2013 года.
  3. Clarke & Jones, 2004, p. 553
  4. 1 2 3 McIntosh, 1995, p. 387.
  5. Zhao, 2008, p. 25
  6. Johnson, 1975, p. 114.
  7. Buhler, Crandall, Ernvall, Metsänkylä, 1993, p. 152.
  8. Zhao, 2007, p. 18.
  9. Селфридж (Selfridge) и Поллак (Pollack) опубликовали первое простое число Вольстенхольма в Selfridge & Pollack, 1964, p. 97 (см. McIntosh & Roettger, 2007, p. 2092).
  10. Ribenboim, 2004, p. 23.
  11. Zhao, 2007, p. 25.
  12. Trevisan, Weber, 2001, p. 283–284.
  13. McIntosh, Roettger, 2007, p. 2092.

Литература

[править | править код]
  • Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), "Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000", Notices of the American Mathematical Society, 11: 97
  • Johnson, W. (1975), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants" (PDF), Mathematics of Computation, 29 (129): 113—120 Архивировано 20 декабря 2010 года.
  • Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million" (PDF), Mathematics of Computation, 61 (203): 151—153 Архивировано 12 ноября 2010 года.
  • McIntosh, R. J. (1995), "On the converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Acta Arithmetica, 71: 381—389 арх.
  • Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), "Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Matemática Contemporânea, 21: 275—286 Архивировано 10 декабря 2010 года.
  • Ribenboim, P. (2004), "Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime", The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-20169-6 {{citation}}: Внешняя ссылка в |chapter= (справка) арх.
  • Clarke, F.; Jones, C. (2004), "A Congruence for Factorials" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 36 (4): 553—558, doi:10.1112/S0024609304003194 Архивировано 2 января 2011 года.
  • McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), "A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes" (PDF), Mathematics of Computation, 76: 2087—2094, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 арх.
  • Zhao, J. (2007), "Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p5 variations of Lucas' theorem" (PDF), Journal of Number Theory, 123: 18—26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005 Архивировано 12 ноября 2010 года.
  • Zhao, J. (2008), "Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums" (PDF), International Journal of Number Theory, 4 (1): 73—106 арх.
  • Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), "On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II", Communications in Number Theory and Physics, 3, arXiv:0907.2578
  • Babbage, C. (1819), "Demonstration of a theorem relating to prime numbers", The Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46—49
  • Wolstenholme, J. (1862), "On Certain Properties of Prime Numbers", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 5: 35—39