Производные Виртингера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Производные Виртингера (операторы Виртингера[1], формальные комплексные частные производные[2]) — обобщение производной на случай комплексно недифференцируемых комплексных функций. Производные Виртингера обозначаются тем же символом, что и частные производные: и . Для комплексной функции одной переменной определяются выражениями

,
.

Для комплексной функции нескольких переменных производные Виртингера определяются выражениями

,
.

Оператор также называют оператором Коши-Римана или производной Коши-Римана[3][4]. Некоторые авторы используют термин «оператор Коши-Римана» для обеих производных Виртингера[1].

Связь с вещественной дифференцируемостью

[править | править код]

Рассмотрим вещественно-дифференцируемую функцию . Её дифференциал представляется в виде

.

Обозначим , . Подставляя новые обозначения и преобразуя выражения получим

.

Из этого выражения мотивация к определению и такому обозначению производных Виртингера становится очевидна. Записав коэффициенты при дифференциалах обозначениями производных Виртингера, получаем

.

Представление дифференциала в виде называется представлением дифференциала в вещественной форме, а в виде представлением дифференциала в комплексной форме. Существование представления дифференциала в комплексной форме эквивалентно вещественной дифференцируемости. В случае существования такого представления, коэффициенты при дифференцилах определяются однозначно и могут быть вычислены при помощи соответствующих производных Виртингера по показанной выше формуле.

Для функций многих комплексных переменных всё аналогично. Представлением дифференциала в комплексной форме называется представление в виде . Существование такого представления равносильно вещественной дифференцируемости и, если оно существует, оно единственно. При помощи производных Виртингера дифференциал функции несколько переменных в комплексной форме записывается следующим образом:

.

Из существования всех производных Виртингера вещественной дифференцируемости ещё не следует, так как существование производных Виртингера эквивалентно существованию всех частных вещественных производных.

Связь с условиями Коши-Римана

[править | править код]

Функция комплексно-дифференцирума, если её дифференциал имеет вид

.

Из вышеизложенных свойств представления дифференциала в комплексной форме следует, что функция комплексно-дифференцируема тогда и только тогда, когда она вещественно-дифференцируема и вторая производная Виртингера . Проведя простые преобразования нетрудно убедиться, что условие эквивалентно условиям Коши-Римана:

где , . Из этого становится понятным, почему также называют оператором Коши-Римана. Таким образом, при помощи производных Виртингера можно получить наглядное объяснение необходимости условий Коши-Римана для комплексной дифференцируемости.

Для функций многих комплексных переменных аналогично можно получить, что комплексная дифференцируемость эквивалентна вещественной дифференцируемости вместе с равенством всех вторых производных Виртингера нулю:

.

Это условие эквивалентно системе уравнений Коши-Римана для функции многих переменных.

Существует также противоположное понятие для равенства первой производной Виртингера нулю — антиголоморфность. Функция антиголоморфна в некотором открытом множестве, если она вещественно дифференцируема и

(для функции многих переменных ).

Для антиголоморфной функции дифференциал представляется в виде (или для функций многих переменных). Антиголоморфность эквивалентна голоморфности сопряжённой функции.

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Тун, 2018, с. 172.
  2. Are, 2007, с. 2745.
  3. Shapiro.
  4. Иманбаев, 2014, с. 26.

Литература

[править | править код]
  • Чиа-чи Тун. О производных Виртингера и операторе, сопряженном к , а также об их приложениях // Известия Российской академии наук. Серия математическая : журнал. — 2018. — Т. 82, вып. 6. — С. 172–199.
  • Are Hjorungnes, David Gesbert. Complex-Valued Matrix Differentiation: Techniques and Key Results (англ.) // IEEE Transactions on Signal Processing : журнал. — 2007. — July (vol. 55, iss. 6). — P. 2740–2746.
  • Joel H. Shapiro. Introduction to the Cauchy-Riemann operator (англ.) (pdf). Joel H. Shapiro Lecture Notes (26 апреля 2021). Дата обращения: 13 июля 2022.
  • Н. С. Иманбаев. Задача о собственных значениях дифференциального оператора Коши–Римана с нелокальными краевыми условиями // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки» : журнал. — 2014. — Т. 1, вып. 34. — С. 25-36.