Присоединённое представление группы Ли

Присоединённое представление группы Ли
Присоединённое представление группы Ли
Изучается в	теория представлений

Присоединённое представление группы Ли — линейное представление группы Ли на своей алгебре Ли. Обычно обозначается $\operatorname {Ad}$ .

Определение

Пусть $G$ — группа Ли. Касательное пространство $T_{e}G$ в единице группы есть её алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ . Для каждого элемента $a\in G$ рассмотрим дифференциал

\operatorname {Ad} _{a}=d(\operatorname {Int} _{a})_{e}

\operatorname {Int} _{a}:x\mapsto axa^{-1}.

Полученное действие $\operatorname {Ad} \colon G\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})$ называется присоединённым представлением.

Если $G\subset GL(V)$ — линейная группа в пространстве $V$ , то
$\operatorname {Ad} _{a}X=aXa^{-1},$

Дифференциалом присоединённого представления группы

G

Образ группы Ли $G$ при присоединённом представлении называется присоединённой группой группы $G$ и обозначается $\operatorname {Ad} G$ .

Ядро $\operatorname {Ker} \operatorname {Ad}$ $\operatorname {Ker} \operatorname {Ad}$ содержит центр группы $G$ $G$ .
- Более того, в случае, когда $G$ связна и основное поле имеет характеристику $0$ , совпадает с центром.
Связная полупростая группа Ли изоморфна своей присоединённой группе тогда и только тогда, когда её корни порождают группу рациональных характеров максимального тора; центр такой группы тривиален.
Если основное поле имеет характеристику 0 и $G$ $G$ связна, то $\operatorname {Ad} G$ $\operatorname {Ad} G$ однозначно определяется алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ и называется иногда присоединённой группой, или группой внутренних автоморфизмов, алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ .
- В частности, если $G$ полупроста, то $\operatorname {Ad} G$ совпадает со связной компонентой единицы в $\operatorname {Aut} {\mathfrak {g}}$ .

Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Основы теории групп Ли. — М.: ВИНИТИ, 1988. — С. 5—101. — (Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Т. 20).