Поверхность Шерка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Анимация превращения друг в друга первой и второй поверхностей Шерка: они являются членами одного и того же ассоциированного семейства минимальных поверхностей.

Поверхность Шерка (названа именем Генриха Шерка) является примером минимальной поверхности. Шерк описал две полные вложенные минимальные поверхности в 1834 году[1]. Его первая поверхность является дважды периодической поверхностью, а вторая — просто периодической. Они были третьим нетривиальным примером минимальных поверхностей (первые две — катеноид и геликоид)[2]. Две поверхности сопряжены друг другу.

Поверхности Шерка возникают при изучении некоторых задач о минимальных поверхностях и изучении гармонических диффеоморфизмов гиперболического пространства.

Первая поверхность Шерка

[править | править код]

Первая поверхность Шерка асимптотически стремится к двум бесконечным семействам параллельных плоскостей, ортогональных друг другу. Поверхности образуют близ z = 0 арки мостов в шахматном порядке. Поверхность содержит бесконечное число прямых вертикальных линий.

Построение простой поверхности Шерка

[править | править код]
Поверхность Шерка Σ, заданная как график функции для x и y между и .
Девять периодов поверхности Шерка.

Рассмотрим следующую минимальную поверхность на квадрате на евклидовой плоскости: для натурального числа n найти минимальную поверхность как график некоторой функции

так что

для
для

То есть, un удовлетворяет уравнению минимальной поверхности

и

Что будет с поверхностью при стремлении n к бесконечности? Ответ дал Х. Шерк в 1834 году: предельная поверхность является графиком функции

То есть поверхность Шерка над квадратом равна

Более общие поверхности Шерка

[править | править код]

Можно рассмотреть похожие задачи с минимальными поверхностями на других четырёхугольниках на евклидовой плоскости. Можно также рассмотреть ту же задачу на четырёхугольниках на гиперболической плоскости. В 2006 году Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин использовали гиперболические поверхности Шерка для построения гармонического диффеоморфизма из комплексной плоскости в гиперболическую плоскость (единичный диск с гиперболической метрикой), опровергая тем самым гипотезу гипотеза Шёна — Яу[англ.].

Вторая поверхность Шерка

[править | править код]
Вторая поверхность Шерка

Вторая поверхность Шерка глобально выглядит как две ортогональные плоскости, пересечение которых состоит из последовательности туннелей в чередующихся направлениях. Их пересечения с горизонтальными плоскостями состоит из чередующихся гипербол.

Поверхность задаётся уравнением:

Поверхность имеет Параметризация Вейерштрасса — Эннепера , и может быть параметризована как[3]:

для и . Это даёт один период поверхности, который может быть распространён в z-направлении симметрией.

Поверхность обобщил Х. Кархер в семейство сёдл пилона[англ.] периодических минимальных поверхностей.

В литературе по ошибке эту поверхность называют пятой поверхностью Шерка[4][5]. Чтобы исключить путаницу, полезно упоминать поверхность как поверхность Шерка одного периода или как башню Шерка.

Примечания

[править | править код]
  1. Scherk, 1835, с. 185–208.
  2. Heinrich Scherk (1798 - 1885) - Biography - MacTutor History of Mathematics. Дата обращения: 16 июля 2020. Архивировано 3 ноября 2019 года.
  3. Weisstein, 2002.
  4. Kapuoleas, 2001, с. 499.
  5. Hoffman, Meeks, 1990.

Литература

[править | править код]
  • Scherk H.F. Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1835. — Т. 13.
  • Nikolaos Kapuoleas. Constructions of minimal surfaces by glueing minimal immersions // Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, June 25-July 27. — 2001.
  • David Hoffman, William H. Meeks. Limits of minimal surfaces and Scherk's Fifth Surface // Archive for rational mechanics and analysis. — 1990. — Т. 111.
  • Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics // 2nd ed.. — CRC press, 2002.