Объём Малера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Объём Малера — характеристика Центрально-симметричного выпуклого тела. Названа в честь Курта Малера[англ.].

Нерешённая гипотеза Малера утверждает, что минимальный возможный объём Малера имеет куб.

Определение

[править | править код]

Выпуклое тело в Евклидовом пространстве определяется как компактное выпуклое множество с непустой внутренностью.

Если есть центрально-симметричное выпуклое тело в n-мерном евклидовом пространстве, то двойственное тело другое центрально-симметричного тело в том же пространстве, определяемая как

Объём Малера является произведением объёмов и .

  • Единичный шар является самодвойственным. Поэтому объём Малера единичного шара есть квадрат его объёма.
где Γ обозначает гамма-функцию.
  • Такой же объём Малера имеет любой эллипсоид
  • Двойственное тело для куба есть октаэдр. Отсюда несложно вычислить что объём Малера куба (также как и октаэдра) есть .
    • Согласно формуле Стирлинга, объём Малера шара превышает объем Малера куба примерно в раз.
  • Bourgain, J.; Milman, V. D. (1987), "New volume ratio properties for convex symmetric bodies in Rn", Inventiones Mathematicae, 88 (2): 319—340, doi:10.1007/BF01388911, MR 0880954.
  • Santaló, L. A. (1949), "An affine invariant for convex bodies of n-dimensional space", Portugaliae Math., 8: 155—161, MR 0039293 {{citation}}: |format= требует |url= (справка).