Обобщённая арифметическая прогрессия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Обобщённая арифметическая прогрессия — множество чисел или элементов произвольной группы , представимое в виде

для некоторых .[1]

Связанная терминология

[править | править код]

Прогрессия называется собственной, если все числа вида различны, то есть она содержит элементов.

Рангом (или размерностью) прогрессии называется количество слагаемых в представлении каждого элемента (в обозначениях выше число ).

При обобщённую арифметическую прогрессию также называют[2] -мерным кубом (поскольку в него существует линейное отображения из ).

При множество представляет собой обычную арифметическую прогрессию.

Область использования

[править | править код]

Обобщённые арифметические прогрессии представляют собой конструкцию менее структурированную чем обычная арифметическая прогрессия, но тем не менее всё же имеющую нетривиальную структуру (когда размер прогрессии велик, а ранг мал). Это делает их удобным инструментом для изучения и обобщения теорем арифметической комбинаторики, связанных с выводом структуры из численных характеристик множества, таких как аддитивная энергия, коэффициент удвоения и т. д.[3]

Некоторые структурные теоремы аддитивной комбинаторики доказывают существование обобщённой арифметической прогрессии достаточно малого ранга и большого размера в достаточно упорядоченных множествах или возможность покрытия такого множества обобщённой арифметической прогрессий небольшого ранга и небольшого же (ограниченного некоторой формулой от размера множества) размера.

Обобщённые арифметиеские прогрессии могут использоваться для доказательства теоремы Рота.[4]

Вообще доказать присутствие во множестве обобщённых арифметических прогрессий, исходя из каких-то известных фактов об этом множестве, часто легче, чем доказать присутствие обычных арифметических прогрессий.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Рональд Грэхем. Начала теории Рамсея. — М.: Мир, 1984.