Метод бесконечного спуска

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метод бесконечного спуска — метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено. Существенно развит Пьером Ферма.

Часто используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме: из предположения, что решение существует, доказывается существование другого решения, которое в некотором смысле меньше, тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего, это вызывает противоречие с тем, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.

Для доказательства иррациональности с использованием метода бесконечного спуска оно предполагается рациональным числом:

для некоторых натуральных чисел и . Тогда квадрат этого числа равен:

,

то есть . Это означает, что  — чётное число. Для : , при подстановке вместо : . Деление на 2 обеих частей даёт: , значит,  — также чётное число. Таким образом, исходные числа и можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление . С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. То есть, не является рациональным числом.