Комплексный многогранник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Комплексный многогранник — это обобщение многогранника в вещественном пространстве[англ.] на аналогичную структуру в комплексном гильбертовом пространстве, где к каждой вещественной размерности добавляется мнимая.

Комплексный многогранник можно понимать как коллекцию комплексных точек, прямых, плоскостей и так далее, где в каждой точке пересекаются несколько прямых, в каждой прямой несколько плоскостей и т. д.

Точное определение существует только для правильных комплексных многогранников, которые являются конфигурациями. Правильные комплексные многогранники полностью описаны и могут быть описаны с помощью символической нотации, разработанной Коксетером.

Описаны также некоторые комплексные многогранники, не являющиеся правильными.

Определение и вводные замечания

[править | править код]

Комплексная прямая имеет одну размерность с вещественными координатами и другую с мнимыми координатами. Если использованы вещественные координаты для обоих размерностей, говорят о задании двух размерностей над вещественными числами. Вещественная плоскость с мнимой осью называется диаграммой Аргана. Ввиду этого она называется иногда комплексной плоскостью. Комплексное 2-пространство (которое иногда также называется комплексной плоскостью) тогда является четырёхмерным пространством над вещественными числами.

Комплексный n-многогранник в комплексном n-пространстве аналогичен вещественному n-многограннику в вещественном n-пространстве.

Нет естественного комплексного аналога порядку точки на вещественной оси (или связанных комбинаторных свойств). Вследствие этого комплексный многогранник нельзя рассматривать как непрерывную поверхность и он не ограничивает внутренность, как это происходит в вещественном случае.

В случае правильных многогранников точное определение можно дать с помощью понятия симметрии. Для любого правильного многогранника группа симметрии (здесь, группа комплексных отражений, называемая группой Шепарда) действует транзитивно на флагах, то есть на вложенные наборы точек, содержащихся в прямых, которые принадлежат плоскости и так далее.

Более полно, говорят, что набор P аффинных подпространств (или плоскостей) комплексного унитарного пространства V размерности n является правильным комплексным многогранником, если он удовлетворяет следующим условиям[1][2]:

  • для любых , если F является плоскостью в P размерности i и H является плоскостью в P размерности k, такие, что , то существует по меньшей мере две плоскости G в P размерности j такие, что ;
  • для любых i, j, таких что , если являются плоскостями пространства P размерностей i, j, то множество плоскостей между F и G связно, в том смысле, что можно получить из любого члена этого множества любой другой как последовательность вложений
  • подмножество унитарных преобразований V, не изменяющих P, транзитивно на флагах плоскостей P размерности i для всех i) (Здесь под плоскостью размерности −1 понимается пустое множество). Таким образом, по определению, правильные комплексные многогранники — это конфигурации в комплексном пространстве.

Правильные комплексные многогранники были открыты Шепардом[англ.] (1952) и их теория была позднее развита Коксетером (1974).

Три взгляда на правильные комплексные многоугольники , 4node_1343node

Этот комплексный многоугольник имеет 8 рёбер (комплексные прямые) с метками a..h и 16 вершин. Четыре вершины лежат на каждом ребре и в каждой вершине пересекаются два ребра. На левом рисунке квадраты не являются элементами многогранника, но нарисованы исключительно помочь распознать вершины, лежащие на той же самой комплексной прямой. Восьмиугольный периметр левого изображения не является элементом многогранника, но он является многоугольником Петри[3]. На центральном рисунке каждое ребро представлено как вещественная прямая и четыре вершины на каждой прямой можно легко видеть.

Эскиз в перспективе, представляющий 16 вершин в виде чёрных точек и 8 4-рёбер как квадраты внутри каждого ребра. Зелёный путь представляет восьмиугольный периметр левого изображения.

Комплексный многогранник существует в комплексном пространстве эквивалентной размерности. Например, вершины комплексного многоугольника — это точки на комплексной плоскости , а рёбра — комплексные прямые , существующие как (аффинные) подпространства плоскости, пересекающиеся в вершинах. Таким образом, ребро может быть задано одним комплексным числом.

В правильном комплексном многограннике вершины, инцидентные ребру, располагаются симметрично относительно барицентра, который часто используется как начало координатной системы ребра (в вещественном случае барицентром является просто середина ребра). Симметрия возникает из комплексных отражений относительно барицентра. Это отражение оставляет модуль любой вершины неизменным, но меняет её аргумент на постоянную величину, передвигая её в координаты следующей по порядку вершины. Таким образом, мы можем считать (после подходящего выбора шкалы), что вершины ребра удовлетворяют уравнению , где p — число инцидентных вершин. Таким образом, на диаграмме Аргана ребра, точки вершины лежат в вершинах правильного многоугольника с центром в начале координат.

Выше проиллюстрированы три вещественные проекции правильного комплексного многоугольника 4{4}2 с рёбрами a, b, c, d, e, f, g, h. Многоугольник имеет 16 вершин, которые для удобства обзора индивидуально не помечены. Каждое ребро имеет четыре вершины, а каждая вершина лежит на двух рёбрах, поскольку каждое ребро пересекает четыре других ребра. На первой диаграмме каждое ребро представлено квадратом. Стороны квадрата не являются частями многоугольника, но нарисованы исключительно для облегчения визуальных связей четырёх вершин. Рёбра располагаются симметрично. (Заметьте, что диаграмма выглядит подобно B4 плоской проекции Коксетера тессеракта, но структурно она другая).

На средней диаграмме не соблюдается восьмиугольная симметрия в пользу ясности. Каждое ребро показано как вещественная прямая, а каждая точка пересечения двух прямых является вершиной. Связь между различными рёбрами легко видеть.

Последняя диаграмма показывает структуру, спроецированную в трёхмерное пространство — два куба вершин, фактически, имеют один и тот же размер, но рассматриваются в перспективе с различного расстояния в четырёхмерном пространстве.

Правильные комплексные одномерные многогранники

[править | править код]
Комплексные 1-многогранники, представленные на комплексной плоскости как правильные многоугольники для p = 2, 3, 4, 5 и 6. Вершины показаны чёрными точками. Барицентр p вершин показан красным. Стороны многоугольников представляют применение генератора симметрии, отражающего каждую вершину в следующую против часовой стрелки. Эти многоугольные стороны не являются элементами многогранника, так как комплексный 1-многогранник может не иметь рёбер (он часто является комплексным ребром) и только содержит вершины.

Вещественный 1-мерный многогранник существует как замкнутый отрезок на вещественной прямой , определяемый двумя концами или вершинами. Его символом Шлефли — {} .

Аналогично, комплексный 1-многогранник существует как множество p из вершин на комплексной прямой . Они могут быть представлены как множество точек на диаграмме Аргана (x,y)=x+iy. Правильный комплексный 1-мерный многогранник p{} имеет p (p ≥ 2) вершин, расположенных в виде выпуклого правильного многоугольника {p} на комплексной плоскости[4].

В отличие от точек на вещественной прямой, точки на комплексной прямой не имеют естественного упорядочения. Тогда, в отличие от вещественных многогранников, нельзя определить никакой внутренности[5]. Вопреки этому, комплексные 1-многогранники часто рисуют, как здесь, в виде ограниченных правильных многоугольник на комплексной плоскости.

Реальные рёбра генерируются как отрезки между точками и их отражениями в зеркале. Комплексное отражение порядка 2 можно рассматривать как вращение на 180 градусов вокруг центра. Ребро неактивно, если генераторная точка находится на линии зеркала или в центре.

Правильный вещественный 1-мерный многогранник представляется пустым символом Шлефли {} или диаграммой Коксетера — Дынкина node_1. Точка или узел диаграммы Коксетера — Дынкина представляет генератор отражения, в то время как кружок вокруг узла означает, что точка генератора не находится на зеркале, так что её зеркальное отражение отличается от самой точки. Согласно расширенной нотации правильный комплексный 1-мерный многогранник в , содержащий p вершин, имеет диаграмму Коксетера — Дынкина pnode_1 для любого положительного целого p (большего или равного 2). Число p можно опустить, если оно равно 2. Этот многогранник может быть также представлен пустым символом Шлефли или . 1 — это заполнитель, представляющий несуществующее отражение или тождественный генератор с периодом 1. (0-многогранник, вещественный или комплексный — это точка и представляется как } {, или как .)

Симметрия обозначается диаграммой Коксетера pnode и может быть альтернативно описана в нотации Коксетера[англ.] как , или , или . Симметрия изоморфна циклической группе, порядка p[6]. Подгруппами являются любые полные делители , где .

Генератор унитарного оператора для pnode выглядит как вращение на 2π/p радиан по часовой стрелке, а pnode_1 ребро образуется последовательным применением одного комплексного отражения. Генератор комплексного отражения для 1-многогранника с p вершинами — это . Если p = 2, генератором будет , то же, что и центральная симметрия на вещественной плоскости.

В комплексных многогранниках большей размерности 1-многогранники образуют p-рёбра. 2-ребро подобно обычному вещественному ребру, поскольку содержит две вершины, но не обязательно существует на вещественной прямой.

Правильные комплексные многоугольники

[править | править код]

Хотя 1-многогранники могут иметь неограниченную величину p, конечные правильные комплексные многоугольники, за исключением многоугольников двойных призм , ограничены 5-рёбрами (пятиугольные рёбра), а бесконечные правильные апейрогоны включают также 6-рёбра (шестиугольные рёбра).

Обозначения

[править | править код]

Модифицированные Шепардом обозначения Шлефли

[править | править код]
12 неприводимых групп Шепарда со взаимосвязью их индексов подгрупп[7]. Подгруппы с индексом 2 связаны удалением вещественно отражения:
, индекс 2.
, индекс q.

Шепард[англ.] первоначально придумал модифицированную форму нотации Шлефли для правильных многогранников. Для многоугольника, ограниченного p1-рёбрами, с p2-множествами в качестве вершинных фигур и общей группой симметрии порядка g, мы обозначаем многоугольник как .

Число вершин V тогда равно , а число рёбер E равно .

Комплексный многоугольник, проиллюстрированный выше, имеет восемь квадратных рёбер () и шестнадцать вершин (). Отсюда мы можем заключить, что g = 32, что даёт модифицированный символ Шлефли 4(32)2.

Пересмотренная нотация Шлефли

[править | править код]

Более современная нотация принадлежит Коксетеру[8] и основывается на теории групп. Символом группы симметрии будет .

Группа симметрии представлена двумя генераторами , где: . Если q чётно, . Если q нечётно, . Когда q нечётно, .

Для имеет место , .

Для имеет место , .

Диаграммы Коксетера — Дынкина

[править | править код]

Коксетер также обобщил использование диаграмм Коксетера — Дынкина на комплексные многогранники. Например, комплексный многоугольник представляется диаграммой pnode_1qrnode, а эквивалентная группа симметрии представляется диаграммой без кружка pnodeqrnode. Узлы p и r представляют зеркала, дающие образы p и r на плоскости. Непомеченные узлы на диаграмме имеют 2 неявные метки. Например, вещественный правильный многоугольник имеет обозначение , или {q}, или node_1qnode.

Подгруппы : p=2,3,4…
, индекс p
, индекс 2

Имеется ограничение: узлы, связанные нечётными порядками ветвления, должны иметь идентичные порядки узлов. Если это не так, группа создаст «звёздчатые» многогранники с накладывающимися элементами. Таким образом, 3node_14node и 3node_133node являются обычными многоугольниками, в то время как 4node_13node является звёздчатым.

Перечисление правильных многоугольников

[править | править код]

Коксетер привёл список правильных комплексных многоугольников в . Правильный комплексный многоугольник, или pnode_1qrnode, имеет p-рёбер и q-угольные вершинные фигуры. является конечным многогранником, если .

Симметрия правильного многоугольника, записываемая как , называется группа Шепарда, по аналогии с группой Коксетера, позволяя как вещественные, так и комплексные отражения.

Для незвёздчатых групп порядок группы можно вычислить как [9].

Число Коксетера для равно , так что порядок группы может быть также вычислен как . Правильный комплексный многочлен можно нарисовать в ортогональной проекции с h-гональной симметрией.

Решения ранга 2 генерируют следующие комплексные многоугольники:

Группа G5 G8 G14 G9 G10 G20 G16 G21 G17 G18
, q=3,4… , p=2,3…
nodeqnode pnode4node 3node33node 3node6node 3node43node 4node34node 3node8node 4node6node 4node43node 3node53node 5node35node 3node10node 5node6node 5node43node
Порядок 2q 2p2 24 48 72 96 144 192 288 360 600 720 1200 1800

Исключены решения с нечётными q и неравными p и r: , и .

Другие целые q с неравными p и r, создают звёздчатые группы с перекрывающимися фундаментальными областями: 3node3node, 4node3node, 5node3node, 5node33node, 3node5node, и 5node5node.

Двойственный многоугольник для многоугольника  — это . Многоугольник вида самодвойственен. Группы вида имеют половинную симметрию , так что правильный многоугольник pnode_132xq3node является тем же, что и квазиправильный pnode_13q3pnode_1. Также правильный многоугольник с теми же порядками узлов, pnode_13q3pnode, имеет альтернированное[англ.] построение node_h32xq3pnode, позволяющее смежным рёбрам иметь два различных цвета[10].

Порядок группы, g, используется для вычисления полного числа вершин и рёбер. Многогранник имеет g/r вершин и g/p рёбер. Если p=r, число вершин и рёбер равно. Это условие необходимо, если q нечётно.

Группа Порядок Число
Коксетера
Многоугольник Вершины Рёбра Примечания
G(q, q,2)

q=2,3,4,…
2q q node_1qnode q q {} Вещественные правильные многоугольники
То же, что и node_h2xqnode
То же, что и node_1qrat2xnode_1, если q чётно
Группа Порядок Число
Коксетера
Многогранник Вершины Рёбра Примечания
G(p,1,2)

p=2,3,4,…
2p2 2p
pnode_14node
2p то же, что и или pnode_12pnode_1
представление как p-p дуопризма
2(2p2)p node_14pnode 2p {} представление как p-p дуопирамида[англ.]
G(2,1,2)
8 4 node_14node 4 4 {} то же, что и {}×{} или node_12node_1
Вещественный квадрат
G(3,1,2)
18 6 6(18)2 3node_14node 9 6 то же, что и или 3node_123node_1
представление как 3-3 дуопризма
2(18)3 node_143node 6 9 {} представление как 3-3 дуопризма
G(4,1,2)
32 8 8(32)2 4node_14node 16 8 то же, что и или 4node_124node_1
представление в виде 4-4 дуопризмы или {4,3,3}
2(32)4 node_144node 8 16 {} представление в виде 4-4 дуопризмы или {3,3,4}
G(5,1,2)
50 25 5(50)2 5node_14node 25 10 то же, что и или 5node_125node_1
представление как 5,5-дуопризма
2(50)5 node_145node 10 25 {} представление как 5-5 дуопирамида[англ.]
G(6,1,2)
72 36 6(72)2 6{4}2 6node_14node 36 12 то же, что и или 6node_126node_1
представление как 6-6 дуопризма[англ.]
2(72)6 node_146node 12 36 {} представление как 6-6 дуопирамида[англ.]

3[3]3
<2,3,3>
24 6 3(24)3 [англ.] 3node_133node 8 8 Конфигурация Мёбиуса — Кантора
самодвойственный, то же, что и node_h63node
представление как {3,3,4}

48 12 3(48)2 3node_16node 24 16 3{} то же, что и 3node_133node_1
представление как {3,4,3}
3node_13node звёздчатый многоугольник
2(48)3 node_163node 16 24 {} представление как {4,3,3}
node_133node звёздчатый многоугольник
G5
3[4]3
72 12 3(72)3 3node_143node 24 24 3{} самодвойственный, то же, что и node_h83node
представление как {3,4,3}
G8
4[3]4
96 12 4(96)4 4{3}4 4node_134node 24 24 4{} самодвойственный, то же, что и node_h64node
представление как {3,4,3}
G14
144 24 3(144)2 3node_18node 72 48 3{} то же, что и 3node_143node_1
3{8/3}2 3node_18rat3xnode звёздчатый многоугольник, то же, что и 3node_14rat3x3node_1
2(144)3 2{8}3 node_183node 48 72 {}
2{8/3}3 node_18rat3x3node звёздчатый многоугольник
G9
4[6]2
192 24 4(192)2 4{6}2 4node_16node 96 48 4{} то же, что и 4node_134node_1
2(192)4 2{6}4 node_164node 48 96 {}
4{3}2 4node_13node 96 48 {} звёздчатый многоугольник
2{3}4 node_134node 48 96 {} звёздчатый многоугольник
G10
4[4]3
288 24 4(288)3 4{4}3 4node_143node 96 72 4{}
12 4{8/3}3 4node_18rat3x3node звёздчатый многоугольник
24 3(288)4 3{4}4 3node_144node 72 96 3{}
12 3{8/3}4 3node_18rat3x4node звёздчатый многоугольник
G20
3[5]3
360 30 3(360)3 3{5}3 3node_153node 120 120 3{} самодвойственный, то же, что и node_h103node
представление как {3,3,5}
3{5/2}3 3node_15-23node самодвойственный, звёздчатый многоугольник
G16
5[3]5
600 30 5(600)5 5{3}5 5node_135node 120 120 5{} самодвойственный, то же, что и node_h65node
представление как {3,3,5}
10 5{5/2}5 5node_15-25node самодвойственный, звёздчатый многоугольник
G21
3[10]2
720 60 3(720)2 3{10}2 3node_110node 360 240 3{} то же, что и 3node_153node_1
3{5}2 3node_15node звёздчатый многоугольник
3{10/3}2 3node_110rat3xnode звёздчатый многоугольник, то же, что и 3node_15rat3x3node_1
3{5/2}2 3node_15-2node звёздчатый многоугольник
2(720)3 2{10}3 node_1103node 240 360 {}
2{5}3 node_153node звёздчатый многоугольник
2{10/3}3 node_110rat3x3node звёздчатый многоугольник
2{5/2}3 node_15-23node звёздчатый многоугольник
G17
5[6]2
1200 60 5(1200)2 5{6}2 5node_16node 600 240 5{} то же, что и 5node_135node_1
представление как {5,3,3}
20 5{5}2 5node_15node звёздчатый многоугольник
20 5{10/3}2 5node_110rat3xnode звёздчатый многоугольник
60 5{3}2 5node_13node звёздчатый многоугольник
60 2(1200)5 2{6}5 node_165node 240 600 {}
20 2{5}5 node_155node звёздчатый многоугольник
20 2{10/3}5 node_110rat3x5node звёздчатый многоугольник
60 2{3}5 node_135node звёздчатый многоугольник
G18
5[4]3
1800 60 5(1800)3 5{4}3 5node_143node 600 360 5{} представление как {5,3,3}
15 5{10/3}3 5node_110rat3x3node звёздчатый многоугольник
30 5{3}3 5node_133node звёздчатый многоугольник
30 5{5/2}3 5node_15-23node звёздчатый многоугольник
60 3(1800)5 3{4}5 3node_145node 360 600 3{}
15 3{10/3}5 3node_110rat3x5node звёздчатый многоугольник
30 3{3}5 3node_135node звёздчатый многоугольник
30 3{5/2}5 3node_15-25node звёздчатый многоугольник

Визуализация правильных комплексных многоугольников

[править | править код]

Многоугольники вида p{2r}q можно визуализировать q цветных множеств p-рёбер. Каждое p-ребро выглядит как правильный многоугольник, но нет никаких граней.

2D-ортогональные проекции комплексных многоугольников

Многогранники вида называются обобщёнными ортоплексами. Они имеют те же вершины, что и 4D q-q дуопирамиды[англ.], в которых вершины соединены 2-рёбрами.

Комплексные многоугольники

Многоугольники вида называются обобщёнными гиперкубами (квадратами для многоугольников). Многоугольники имеют те же вершины, что и 4D p-p дуопризмы, вершины соединены p-рёбрами. Вершины нарисованы зелёными и p-рёбра нарисованы поочерёдно красными и синими. Проекция слегка искажена для нечётных размерностей, чтобы сдвинуть накладывающиеся вершины от центра.

3D-перспективные проекции комплексных многоугольников p{4}2
Другие комплексные многоугольники p{r}2
2D-ортогональные проекции комплексных многоугольников, p{r}p

Многоугольники вида имеют равное число вершин и рёбер. Они также самодвойственны.

Правильные комплексные многогранники

[править | править код]

В общем случае, правильный комплексный многогранник представляется символом Коксетера или диаграммой Коксетера pnode_13z1x3qnode3z2x3rnode3z3x3snode…, имеющей симметрию … или pnode3z1x3qnode3z2x3rnode3z3x3snode….[18]

Существуют бесконечные семейства правильных комплексных многогранников, которые появляются во всех размерностях. Эти семейства обобщают гиперкубы и ортаэдры в вещественном пространстве. «Обобщённый гиперпрямоугольник» Шепарда обобщает гиперкуб. Он имеет символ и диаграмму pnode_14node3node3node3node3node3node. Его группа симметрии имеет диаграмму . В классификации Шепарда—Тодда это группа G(p, 1, n), обобщающая знаковые матрицы перестановок. Его двойственный правильный многогранник, «обобщённый кросс-многогранник», представляется символом и диаграммой node_13node3node3node33node4pnode[19].

1-мерный правильный комплексный многогранник в представляется как pnode_1, имеет p вершин и имеет вещественное представление в виде правильного многоугольника {p}. Коксетер также даёт ему символ или как 1-мерный обобщённый гиперкуб или кросс-многогранник. Его симметрия — или pnode, циклическая группа порядка p. В многогранниках более высокого порядка, или pnode_1 представляет элемент p-ребра. Так, 2-ребро, {} или node_1 представляет обычное ребро между двумя вершинами[20].

Некоторые группы Шепарда ранга 3 с их порядками и связями по подгруппам отражений

Двойственный комплексный многогранник строится путём обмена k-го и (n-1-k)-го элементов n-многогранника. Например, двойственный комплексный многоугольник имеет вершины в середине каждого ребра, а новые рёбра имеют центры в старых вершинах. v-валентная вершина создаёт новое v-ребро, а e-ребро становится e-валентной вершиной[21]. Двойственный многогранник правильного комплексного многогранника имеет обратный символ (то есть записанный в обратном порядке). Правильные комплексные многогранники, имеющие симметричные символы, то есть , , и т. д., являются самодвойственными.

Перечисление правильных комплексных многогранников

[править | править код]

Коксетер перечислил незвёздчатые правильные комплексные многогранники в пространстве , включая 5 правильных многогранников в [22].

Правильный комплексный многогранник или pnode_13n1x3qnode3n2x3rnode, имеет pnode_13n1x3qnode грани, pnode_1 рёбра и qnode_13n2x3rnode вершинные фигуры.

Комплексный правильный многогранник требует, чтобы как g1 = порядок(), так и g2 = порядок() были конечными.

Если g = порядок(), число вершин равно g/g2 и число граней равно . Число рёбер равно g/pr.

Простран
ство
Группа Порядок Число
Коксетера
Многоугольник Вершин Рёбер Граней Вершинная
фигура
Многоугольник
ванн Осса
Примечания
G(1,1,3)

= [3,3]
24 4
= {3,3}
node_13node3node 4 6 {} 4 {3} {3} Вещественный тетраэдр
То же, что и node_h4node3node
G23

= [3,5]
120 10 node_13node5node 12 30 {} 20 {3} {5} Вещественный икосаэдр
node_15node3node 20 30 {} 12 {5} {3} Вещественный додекаэдр
G(2,1,3)

= [3,4]
48 6 node_13node4node 6 12 {} 8 {3} {4} {4} Вещественный октаэдр
То же, что и {}+{}+{}, порядок 8
То же, что и node_1split1nodes, порядок 24
node_14node3node 8 12 {} 6 {4} {3} Вещественный куб
То же, что и {}×{}×{} или node_12cnode_12cnode_1
G(p,1,3)
2[3]2[4]p
p=2,3,4,…
6p3 3p
node_13node4pnode
3p {} p3 {3} Обобщённый октаэдр
То же, что и , порядок p3
То же, что и node_13split1branchlabelp, порядок 6p2
pnode_14node3node p3 3p2 p{} 3p {3} Обобщённый куб
То же, что и или pnode_12cpnode_12cpnode_1
G(3,1,3)
2[3]2[4]3
162 9 node_13node43node 9 27 {} 27 {3} То же, что и , порядок 27
То же, что и node_13split1branch, порядок 54
3node_14node3node 27 27 3{} 9 3{4}2 {3} То же, что и или 3node_12c3node_12c3node_1
G(4,1,3)
384 12 node_13node44node 12 48 {} 64 {3} То же, что и , порядок 64
То же, что и node_13split1branchlabel4, порядок 96
4node_14node3node 64 48 4{} 12 {3} То же, что и или 4node_12c4node_12c4node_1
G(5,1,3)
2[3]2[4]5
750 15 node_13node45node 15 75 {} 125 {3} То же, что и , порядок 125
То же, что и node_13split1branchlabel5, порядок 150
5node_14node3node 125 75 5{} 15 {3} То же, что и или 5node_12c5node_12c5node_1
G(6,1,3)
2[3]2[4]6
1296 18 node_13node46node 36 108 {} 216 {3} 2{4}6 2{4}6 То же, что и 6{}+6{}+6{}, порядок 216
То же, что и node_13split1branchlabel6, порядок 216
6node_14node3node 216 108 6{} 18 6{4}2 {3} То же, что и или 6node_12c6node_12c6node_1
G25
3[3]3[3]3
648 9 3{3}3{3}3 3node_133node33node 27 72 3{} 27 3{3}3 3{3}3 3{4}2 То же, что и node_h43node33node.
представление как 221[англ.]
Многогранник Гессе[англ.]
G26
2[4]3[3]3
1296 18 2{4}3{3}3 node_143node33node 54 216 {} 72 2{4}3 3{3}3 {6}
3{3}3{4}2 3node_133node4node 72 216 3{} 54 3{3}3 3{4}2 3{4}3 То же, что и 3node33node_133node
представление как 122[англ.]

Визуализация правильных комплексных многогранников

[править | править код]
2D-ортогональные проекции комплексных многогранников, p{s}t{r}r
Обобщённые октаэдры

Обобщённые октаэдры имеют построение как правильные формы node_13node4pnode и как квазиправильные виды node_13split1branchlabelp. Все элементы являются симплексами.

Обобщённые кубы

Обобщённые кубы имеют построение как правильные формы pnode_14node3node и как призматические pnode_12cpnode_12cpnode_1, произведение трёх p-угольных 1-многогранников. Элементами являются обобщённые кубы меньшей размерности.

Перечисление правильных комплексных 4-многогранников

[править | править код]

Коксетер перечислил незвёздчатые правильные комплексные 4-многогранники в , включая 6 выпуклых правильных 4-многогранников в [26].

Простран-
ство
Группа Порядок Число
Коксетера
Многогранник Вершины Рёбра Грани Ячейки Многоугольник
ван Осса
Примечания
G(1,1,4)

= [3,3,3]
120 5
= {3,3,3}
node_13node3node3node
5 10
{}
10
{3}
5
{3,3}
Вещественный Пятиячейник (симплекс)
G28

= [3,4,3]
1152 12
node_13node4node3node
24 96
{}
96
{3}
24
{3,4}
{6} Вещественный двадцатичетырёхъячейник
G30

= [3,3,5]
14400 30
node_13node3node5node
120 720
{}
1200
{3}
600
{3,3}
{10} Вещественный шестисотячейник

node_15node3node3node
600 1200
{}
720
{5}
120
{5,3}
Вещественный стодвадцатиячейник
G(2,1,4)

=[3,3,4]
384 8
node_13node3node4node
8 24
{}
32
{3}
16
{3,3}
{4} Вещественный шестнадцатиячейник
То же, что и node_13nodesplit1nodes, порядок 192

node_14node3node3node
16 32
{}
24
{4}
8
{4,3}
Вещественный тессеракт
То же, что и {}4 или node_12cnode_12cnode_12cnode_1, порядок 16
G(p,1,4)
2[3]2[3]2[4]p
p=2,3,4,…
24p4 4p
node_13node3node4pnode
4p 6p2
{}
4p3
{3}
p4
{3,3}
2{4}p Обобщённый 4-ортоплекс
То же, что и node_13node3split1branchlabelp, порядок 24p3

pnode_14node3node3node
p4 4p3
p{}
6p2
p{4}2
4p
Обобщённый тессеракт
То же, что и p{}4 или pnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_1, порядок p4
G(3,1,4)
2[3]2[3]2[4]3
1944 12
node_13node3node43node
12 54
{}
108
{3}
81
{3,3}
2{4}3 Обобщённый 4-ортоплекс
То же, что и node_13node3split1branch, порядок 648

3node_14node3node3node
81 108
3{}
54
3{4}2
12
3{4}2{3}2
То же, что и 3{}4 или 3node_12c3node_12c3node_12c3node_1, порядок 81
G(4,1,4)
2[3]2[3]2[4]4
6144 16
node_13node3node44node
16 96
{}
256
{3}
64
{3,3}
То же, что и node_13node3split1branchlabel4, порядок 1536

4node_14node3node3node
256 256
4{}
96
4{4}2
16
4{4}2{3}2
То же, что и 4{}4 или 4node_12c4node_12c4node_12c4node_1, порядок 256
G(5,1,4)
2[3]2[3]2[4]5
15000 20
node_13node3node45node
20 150
{}
500
{3}
625
{3,3}
2{4}5 То же, что и node_13node3split1branchlabel5, порядок 3000

5node_14node3node3node
625 500
5{}
150
5{4}2
20
То же, что и 5{}4 или 5node_12c5node_12c5node_12c5node_1, порядок 625
G(6,1,4)
2[3]2[3]2[4]6
31104 24
node_13node3node46node
24 216
{}
864
{3}
1296
{3,3}
То же, что и node_13node3split1branchlabel6, порядок 5184

6node_14node3node3node
1296 864
6{}
216
6{4}2
24
То же, что и 6{}4 или 6node_12c6node_12c6node_12c6node_1, порядок 1296
G32
3[3]3[3]3[3]3
155520 30 3{3}3{3}3{3}3
3node_133node33node33node
240 2160
3{}
2160
3{3}3
240
3{3}3{3}3
3{4}3 Многогранник Виттинга[англ.]
представление как 421[англ.]

Визуализация правильных комплексных 4-многогранников

[править | править код]
Обобщённые 4-ортоплексы

Обобщённые 4-ортоплексы имеют построение как правильные види node_13node3node4pnode и квазиправильные виды какnode_13node3split1branchlabelp. Все элементы являются симплексами.

Обобщённые 4-кубы

Обобщённые тессеракты имеют построение как правильные формы pnode_14node3node3node и как призматические виды pnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_1, произведение четырёх p-угольных 1-многогранников. Элементами являются обобщённые кубы меньшей размерности.

Перечисление правильных комплексных 5-многогранников

[править | править код]

Правильные комплексные 5-многогранники в и более высоких размерностях существуют в виде трёх семейств, вещественные симплексы, обобщённые гиперкубы и ортоплексы.

Простран-
ство
Группа Порядок Многогранник Вершины Рёбра Грани Ячейки 4-грани Много-
угольник

ван Осса
Примечания
G(1,1,5)
= [3,3,3,3]
720 α5 = {3,3,3,3}
node_13node3node3node3node
6 15
{}
20
{3}
15
{3,3}
6
{3,3,3}
Вещественный правильный 5-симплекс
G(2,1,5)
=[3,3,3,4]
3840
node_13node3node3node4node
10 40
{}
80
{3}
80
{3,3}
32
{3,3,3}
{4} Вещественный 5-ортоплекс
То же, что и node_13node3nodesplit1nodes, порядок 1920

node_14node3node3node3node
32 80
{}
80
{4}
40
{4,3}
10
{4,3,3}
Вещественный пентеракт
То же, что и {}5 или node_12cnode_12cnode_12cnode_12cnode_1, порядок 32
G(p,1,5)
2[3]2[3]2[3]2[4]p
120p5
node_13node3node3node4pnode
5p 10p2
{}
10p3
{3}
5p4
{3,3}
p5
{3,3,3}
Обобщённый 5-ортоплекс
То же, что и node_13node3node3split1branchlabelp, порядок 120p4

pnode_14node3node3node3node
p5 5p4
p{}
10p3
10p2
5p
Обобщённый пентеракт
То же, что и p{}5 или pnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_1, порядок p5
G(3,1,5)
29160
node_13node3node3node43node
15 90
{}
270
{3}
405
{3,3}
243
{3,3,3}
2{4}3 То же, что и node_13node3node3split1branch, порядок 9720

3node_14node3node3node3node
243 405
3{}
270
90
15
То же, что и 3{}5 или 3node_12c3node_12c3node_12c3node_12c3node_1, порядок 243
G(4,1,5)
2[3]2[3]2[3]2[4]4
122880
node_13node3node3node44node
20 160
{}
640
{3}
1280
{3,3}
1024
{3,3,3}
2{4}4 То же, что и node_13node3node3split1branchlabel4, порядок 30720

4node_14node3node3node3node
1024 1280
4{}
640
4{4}2
160
20
То же, что и 4{}5 или 4node_12c4node_12c4node_12c4node_12c4node_1, порядок 1024
G(5,1,5)
2[3]2[3]2[3]2[4]5
375000
node_13node3node3node55node
25 250
{}
1250
{3}
3125
{3,3}
3125
{3,3,3}
2{5}5 То же, что и node_13node3node3split1branchlabel5, порядок 75000

5node_15node3node3node3node
3125 3125
5{}
1250
250
25
То же, что и 5{}5 или 5node_12c5node_12c5node_12c5node_12c5node_1, порядок 3125
G(6,1,5)
2[3]2[3]2[3]2[4]6
933210
node_13node3node3node66node
30 360
{}
2160
{3}
6480
{3,3}
7776
{3,3,3}
То же, что и node_13node3node3split1branchlabel6, порядок 155520

6node_16node3node3node3node
7776 6480
6{}
2160
360
30
То же, что и 6{}5 или 6node_12c6node_12c6node_12c6node_12c6node_1, порядок 7776

Визуализация правильных комплексных 5-многогранников

[править | править код]
Обобщёные 5-ортоплексы

Обобщённые 5-ортоплексы имеют построение как правильные формы node_13node3node3node4pnode и как квазиправильные node_13node3node3split1branchlabelp. Все элементы являются симплексами.

Обобщённые пентеракты

Обобщённые пентеракты имеют построение как правильные формы pnode_14node3node3node3node и как призматические pnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_1, произведение пяти p-угольных 1-многогранников. Элементами являются обобщённые кубы меньшей размерности.

Перечисление правильных комплексных 6-многогранников

[править | править код]
Простран-
ство
Группа Порядок Многогранник Вершины Рёбра Грани Ячейки 4-грани 5-грани Много-
угольник

ван Осса
Примечания
G(1,1,6)
= [3,3,3,3,3]
720 α6 = {3,3,3,3,3}
node_13node3node3node3node3node
7 21
{}
35
{3}
35
{3,3}
21
{3,3,3}
7
{3,3,3,3}
Вещественный 6-симплекс
G(2,1,6)
[3,3,3,4]
46080
node_13node3node3node4node
12 60
{}
160
{3}
240
{3,3}
192
{3,3,3}
64
{3,3,3,3}
{4} Вещественный 6-ортоплекс
То же, что и node_13node3node3nodesplit1nodes, порядок 23040

node_14node3node3node3node
64 192
{}
240
{4}
160
{4,3}
60
{4,3,3}
12
{4,3,3,3}
Вещественный гексеракт
То же, что и {}6 или node_12cnode_12cnode_12cnode_12cnode_12cnode_1, порядок 64
G(p,1,6)
720p6
node_13node3node3node4pnode
6p 15p2
{}
20p3
{3}
15p4
{3,3}
6p5
{3,3,3}
p6
{3,3,3,3}
Обобщённый 6-ортоплекс
То же, что и node_13node3node3node3split1branchlabelp, порядок 720p5

pnode_14node3node3node3node
p6 6p5
p{}
15p4
p{4}2
20p3
15p2
6p
Обобщённый гексеракт
То же, что и p{}6 или pnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_1, порядок p6

Визуализация правильных комплексных 6-многогранников

[править | править код]
Обобщённые 6-ортоплексы

Обобщённые 6-ортоплексы имеют построение как правильные формы node_13node3node3node3node4pnode и как квазиправильные формы node_13node3node3node3split1branchlabelp. Все элемент являются симплексами.

Обобщённые 6-кубы (гексеракты)

Обобщённые 6-кубы имеют построение как правильные формы pnode_14node3node3node3node3node и призматические формы pnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_12cpnode_1, произведение шести p-угольных 1-угольников. Элементами являются обобщённые кубы меньших размерностей.

Перечисление правильных комплексных бесконечногранников

[править | править код]
Некоторые подгруппы бесконечноугольных групп Шеперда

Коксетер перечислил незвёздные правильные комплексные бесконечногранники и соты[27].

Для каждой размерности существует 12 бесконечногранников с символами существуют в любых размерностях , или if p=q=2. Коксетер называл их обобщёнными кубическими сотами для n>[28].

Каждый имеет пропорциональное число элементов, задаваемое формулами:

k-граней = , где и n! означает факториал числа n.

Правильные комплексные 1-многогранники

[править | править код]
11 комплексных многоугольников с покрашенными в голубой цвет внутренностями рёбер, рёбра вокруг одной вершины выкрашены в индивидуальные цвета. Вершины показаны как маленькие чёрные квадратики. Рёбра выглядят как p-сторонние правильные многоугольники, вершинные фигуры r-угольны.

Единственным правильным комплексным 1-многогранником является {}, или infinnode_1. Его вещественным представлением служит апейрогон {∞}, или node_1infinnode.

Правильные комплексные апейрогоны

[править | править код]
Квазиправильный бесконечноугольник pnode_1qrnode_1 является смешением двух правильных бесконечноугольников pnode_1qrnode и pnodeqrnode_1, которые показаны здесь синими и розовыми рёбрами. Бесконечноугольник 6node_136node_1 имеет только один цвет рёбер, поскольку q нечётно, что приводит к двойному покрытию.

Комплексные бесконечноугольники ранга 2 имеют симметрию p[q]r, где 1/p + 2/q + 1/r = 1. Коксетер выражает их как , где q ограничено выражением [29].

Существует 8 решений:

nodeinfinnode 3node12node 4node8node 6node6node 3node63node 6node43node 4node44node 6node36node

Есть два исключённых решения с нечётным q и неравными p и r, это и , 10node5node или 12node34node.

Правильный комплексный бесконечноугольник имеет p-рёберные и q-гональные вершинные фигуры. Двойственный бесконечноугольник тела  — это . Бесконечноугольник вида самодвойственен. Группы вида имеют половину симметрии , так что бесконечноугольник pnode_12xqnode — это то же, что и квазирегулярный многогранник pnode_1qpnode_1[30].

Апейрогоны можно представить на комплексной плоскости четырьмя различными расположениями вершин. Апейрогоны вида имеют расположение вершин {q/2,p}, апейрогоны вида имеют расположение вершин r{p,q/2}, а апейрогоны вида имеют расположение вершин {p,r}.

Если включить аффинные узлы , добавляется ещё 3 бесконечных решения (infinnode_12infinnode_1, infinnode_14node и infinnode_133node). Первое решение является подгруппой с индексом 2 второго. Вершины этих бесконечноугольников существует в .

Ранг 2
Простран
ство
Группа Апейрогон Ребро
предст.[31]
Рисунок Примечания
2[∞]2 = [∞]
node_1infinnode
{} Вещественный
бесконечноугольник
То же, что и node_1infinnode_1
/ [4]2 {4}2 infinnode_14node {} {4,4} То же, что и infinnode_12infinnode_1
[3]3 {3}3 infinnode_133node {} {3,6} То же, что и infinnode_1split1branch_11label-ii
p[q]r pnode_1qrnode p{}
3node_112node 3{} r{3,6} То же, что и 3node_163node_1
node_1123node {} {6,3}
3[6]3 3node_163node 3{} {3,6} То же, что и node_h123node
4[8]2 4node_18node 4{} {4,4} То же, что и 4node_144node_1
node_184node {} {4,4}
4[4]4 4node_144node 4{} {4,4} То же, что и node_h84node
6[6]2 6node_16node 6{} r{3,6} То же, что и 6node_136node_1
node_166node {} {3,6}
6[4]3 6node_143node 6{} {6,3}
3node_146node 3{} {3,6}
6[3]6 6node_136node 6{} {3,6} То же, что и node_h66node

Правильные комплексные бесконечногранники (трёхмерное пространство)

[править | править код]

Существует 22 правильных комплексных бесконечногранника вида . 8 тел самодвойственны (p=r и a=b), а 14 существуют как двойственные пары многогранников. Три из них полностью вещественны (p=q=r=2).

Коксетер дал двенадцати из них символы (или ) и они являются правильными видами произведения бесконечногранников или , где q вычисляется из p и r.

Многогранники pnode_14node4qnode — это то же, что и pnode_13split1-44branchlabelq, так же, как и pnode_1qrnode2pnode_1qrnode для p,r=2,3,4,6. Также, pnode_14pnode4node = pnode4node_14pnode[32].

Ранг 3
Простран-
ство
Группа Бесконечно-
гранник
Вершины Рёбра Грани Бесконечно-
гранник

ван Осса
Примечания
2[3]2[4] {4}2{3}2 infinnode_14node3node {} {4}2 То же, что и {}×{}×{} или infinnode_12cinfinnode_12cinfinnode_1
Вещественное представление {4,3,4}[англ.]*
p[4]2[4]r p{4}2{4}r
pnode_14node4qnode
p2 2pq p{} r2 p{4}2 2{q}r То же, что и pnode_1qrnode2pnode_1qrnode, p,r=2,3,4,6
[4,4] node_14node4node 4 8 {} 4 {4} {∞} Вещественная квадратная мозаика
То же, что и node_1infinnode2node_1infinnode или node_1infinnode_12node_1infinnode_1 или node_14node4node_1
3[4]2[4]2

3[4]2[4]3
4[4]2[4]2

4[4]2[4]4
6[4]2[4]2

6[4]2[4]3

6[4]2[4]6
3{4}2{4}2
2{4}2{4}3
3{4}2{4}3
4{4}2{4}2
2{4}2{4}4
4{4}2{4}4
6{4}2{4}2
2{4}2{4}6
6{4}2{4}3
3{4}2{4}6
6{4}2{4}6
3node_14node4node
node_14node43node
3node_14node43node
4node_14node4node
node_14node44node
4node_14node44node
6node_14node4node
node_14node46node
6node_14node43node
3node_14node46node
6node_14node46node
9
4
9
16
4
16
36
4
36
9
36
12
12
18
16
16
32
24
24
36
36
72
3{}
{}
3{}
4{}
{}
4{}
6{}
{}
6{}
3{}
6{}
4
9
9
4
16
16
4
36
9
36
36
3{4}2
{4}
3{4}2
4{4}2
{4}
4{4}2
6{4}2
{4}
6{4}2
3{4}2
6{4}2
p{q}r То же, что и 3node_112node23node_112node или 3node_163node_123node_163node_1 или 3node_14node43node_1
То же, что и node_1123node2node_1123node
То же, что и 3node_163node23node_163node
То же, что и 4node_18node24node_18node или 4node_144node_124node_144node_1 или 4node_14node44node_1
То же, что и node_184node2node_184node
То же, что и 4node_144node24node_144node
То же, что и 6node_16node26node_16node или 6node_136node_126node_136node_1 или 6node_14node46node_1
То же, что и node_166node2node_166node
То же, что и 6node_143node26node_143node
То же, что и 3node_146node23node_146node
То же, что и 6node_136node26node_136node
Простран-
ство
Группа Бесконечногранник Вершины Рёбра Грани много-
угольник

ван Осса
Примечания
2[4]r[4]2 2{4}r{4}2
node_14rnode4node
2 {} 2 p{4}2' 2{4}r То же, что и node_h4node4rnode и rnode4node_14rnode, r = 2,3,4,6
[4,4] {4,4} node_14node4node 2 4 {} 2 {4} {∞} То же, что и node_h4node4node и node4node_14node




node_143node4node
node_144node4node
node_146node4node
2 9
16
36
{} 2

То же, что и node_h4node43node и 3node4node_143node
То же, что и node_h4node44node и 4node4node_144node
То же, что и node_h4node46node и 6node4node_146node[33]
Простран-
ство
Группа Многогранник Вершины Рёбра Грани бесконечно-
угольник

ван Осса
Примечания
2[6]2[3]2
= [6,3]
{3,6}
node_13node6node
1 3 {} 2 {3} {∞} Вещественная треугольная мозаика
{6,3} node_16node3node 2 3 {} 1 {6} Вещественная
шестиугольная мозаика
3[4]3[3]3 3{3}3{4}3 3node_133node43node 1 8 3{} 3 3{3}3 3{4}6 То же, что и 3node_13split1branchlabel-33
3{4}3{3}3 3node_143node33node 3 8 3{} 2 3{4}3 3{12}2
4[3]4[3]4 4{3}4{3}4 4node_134node34node 1 6 4{} 1 4{3}4 4{4}4 Самодвойственный, то же, что и node_h44node34node
4[3]4[4]2 4{3}4{4}2 4node_134node4node 1 12 4{} 3 4{3}4 2{8}4 То же, что и 4node34node_134node
2{4}4{3}4 node_144node34node 3 12 {} 1 2{4}4 4{4}4

Правильные комплексные 3-бесконечногранники

[править | править код]

Существует 16 правильных комплексных бесконечногранников в . Коксетер дал двенадцати из них символы , где q ограничено выражением . Их можно разложить на произведение бесконечногранников: pnode_14node3node4rnode = pnode_1qrnode2pnode_1qrnode2pnode_1qrnode. В первом случае имеем кубические соты[англ.]* в .

Ранг 4
Простран-
ство
Группа 3-бесконечногранник Вершины Рёбра Грани Ячейки бесконечно-
угольники

ван Осса
Примечания
p[4]2[3]2[4]r
pnode_14node3node4rnode
p{} То же, что и pnode_1qrnode2pnode_1qrnode2pnode_1qrnode
2[4]2[3]2[4]2
=[4,3,4]

node_14node3node4node
{} {4} {4,3} Кубические соты[англ.]*
То же, что и node_1infinnode2node_1infinnode2node_1infinnode или node_1infinnode_12node_1infinnode_12node_1infinnode_1 или node_14node3node4node_1

3node_14node3node4node
3{} 3{4}2 3{4}2{3}2 То же, что и 3node_112node23node_112node23node_112node или 3node_112node23node_163node_123node_163node_1 или 3node_14node3node43node_1

node_14node3node43node
{} {4} {4,3} То же, что и node_1123node2node_1123node2node_1123node

3node_14node3node43node
То же, что и 3node_163node23node_163node23node_163node

4node_14node3node4node
То же, что и 4node_18node24node_18node24node_18node или 4node_18node24node_144node_124node_144node_1 или 4node_14node3node44node_1

node_14node3node44node
{} {4} {4,3} То же, что и node_184node2node_184node2node_184node

4node_14node3node44node
4{} 4{4}2 4{4}2{3}2 То же, что и 4node_144node24node_144node24node_144node

6node_14node3node4node
То же, что и 6node_16node26node_16node26node_16node или 6node_136node_126node_136node_126node_136node_1 или 6node_14node3node46node_1

node_14node3node46node
{} {4} {4,3} То же, что и node_166node2node_166node2node_166node

6node_14node3node43node
То же, что и 6node_143node26node_143node26node_143node

6node_14node3node43node
То же, что и 6node_143node26node_143node26node_143node
6[4]2[3]2[4]6
6node_14node3node46node
6{} То же, что и 6node_136node26node_136node26node_136node
Ранг 4, исключительные случаи
Простран-
ство
Группа 3-бесконечногранник Вершины Рёбра Грани Ячейки бесконечно-
угольник

ван Осса
Примечания

3node_133node33node4node
1 24 27 2 То же, что и 3node_133nodesplit1nodeslabel-33

node_143node33node33node
2 27 {} 24 1

node_13node43node33node
1 27 {} 72 8

3node_133node4node3node
8 72 27 1 То же, что и 3node33node_1split1nodeslabel-33 или 3node33node_133node4node

Правильные комплексные 4-бесконечногранники

[править | править код]

Существует 15 правильных комплексных бесконечногранников в . Коксетер дал двенадцати из них символы , где q ограничено выражением . Они могут быть разложены в произведение бесконечногранников: pnode_14node3node3node4rnode = pnode_1qrnode2pnode_1qrnode2pnode_1qrnode2pnode_1qrnode. В первом случае имеем в качестве вещественных решений тессерактовые соты[англ.]. 16-ячеечные соты[англ.] и 24-ячеечные соты[англ.] в . Последнее решение имеет в качестве элементов многогранники Виттинга[англ.].

Ранг 5
Простран-
ство
Группа 4-бесконечногранник Вершины Рёбра Грани Ячейки 4-грани Бесконечно-
угольник
ван Осса
Примечания

pnode_14node3node3node4rnode
То же, что и pnode_1qrnode2pnode_1qrnode2pnode_1qrnode2pnode_1qrnode

node_14node3node3node4node
{} {4} {4,3} {4,3,3} {∞} Тессерактовые соты[англ.]
То же, что и node_1infinnode2node_1infinnode2node_1infinnode2node_1infinnode

=[3,4,3,3]
{3,3,4,3}
node_13node3node4node3node
1 12 {} 32 {3} 24 {3,3} 3 {3,3,4} Вещественные
16-ячеечные соты[англ.]
То же, что и nodes_10rusplit2nodesplit1nodes
{3,4,3,3}
node_13node4node3node3node
3 24 {} 32 {3} 12 {3,4} 1 {3,4,3} Вещественные
24-ячеечные соты[англ.]
То же, что и nodessplit2node_1split1nodes или node3node_13node4node3node

3node_133node33node33node33node
1 80 270 80 1 представление 521[англ.]

Правильные комплексные 5-бесконечногранники и выше

[править | править код]

Существует только 12 правильных комплексных бесконечногранников в и выше[34], которые обозначаются символами , где q ограничено выражением . Их можно разложить на произведение n бесконечногранников: pnode_14node3node3node3node4rnode = pnode_1qrnode2pnode_1qrnodepnode_1qrnode2pnode_1qrnode. В первом случае имеем гиперкубические соты в .

Ранг 6
Простран-
ство
Группа 5-бесконечногранники Вершины Рёбра Грани Ячейки 4-грани 5-грани Много-
угольники
ван Осса
Примечания

pnode_14node3node3node3node4rnode
То же, что и pnode_1qrnode2pnode_1qrnode2pnode_1qrnode2pnode_1qrnode2pnode_1qrnode

=[4,3,3,3,4]

node_14node3node3node3node4node
{} {4} {4,3} {4,3,3} {4,3,3,3} {∞} 5-кубические соты[англ.]
То же, что и node_1infinnode2node_1infinnode2node_1infinnode2node_1infinnode2node_1infinnode

Многоугольники ван Осса

[править | править код]
Красный квадрат (многоугольник ван Осса) на плоскости ht, hf, содержащий центр правильного октаэдра.

Многоугольник ван Осса является правильным многоугольником на плоскости (вещественной плоскости или комплексной плоскости ), в которой лежат как рёбра, так и барицентр правильного многогранника, и который образован элементами многогранника. Не все правильные многогранники имеют многоугольники ван Осса.

Например, многоугольники ван Осса вещественного октаэдра — это три квадрата, плоскости которых проходят через центр октаэдра. Для контраста, куб не имеет многоугольников ван Осса, поскольку плоскость от ребра к центру рассекает по диагонали две квадратные грани, так что два ребра куба на полученной плоскости не образуют многоугольника.

Бесконечные соты также имеют многоугольники ван Осса. Например, вещественная квадратная мозаика и треугольная мозаика имеют апейрогоны {∞} в качестве многоугольников ван Осса[35].

Многоугольник ван Осса правильного комплексного многогранника вида …, если существует, имеет p-рёбер.

Неправильные комплексные многогранники

[править | править код]

Произведение комплексных многогранников

[править | править код]
Пример произведения комплексных многогранников

Комплексное произведение многоугольников node_125node_1 или ,
имеет 10 вершин, связанных пятью 2-рёбрами и двумя 5-рёбрами, и имеет представление как 3-мерная пятиугольная призма.

Двойственный многоугольник ,
имеет 7 вершин, находящихся в середине исходных рёбер, соединённых 10 рёбрами. Его вещественным представлением является пятиугольная бипирамида.

Некоторые комплексные многогранники можно представить как прямое произведение. Эти произведения многогранников не являются строго правильными, поскольку имеют более одного типа фасет, но некоторые могут представить более низкие симметрии правильных форм, если все ортогональные многогранники одинаковы. Например, произведение или pnode_12pnode_1 двух 1-мерных многогранников является тем же, что и правильный многогранник или pnode_14node. Более общие произведения, наподобие имеют вещественные представления как 4-мерные p-q дуопризмы. Двойственный многогранник произведения многогранников можно записать как сумму и он имеет вещественное представление как 4-мерная p-q дуопирамида[англ.]. Многогранник может иметь симметрию, удвоенную по сравнению с правильным комплексным многогранником или node_14pnode.

Аналогично, комплексный многогранник можно построить как тройное произведение: или pnode_12cpnode_12cpnode_1 — то же, что и правильный обобщённый куб, или pnode_14node3node, как и произведение или pnode_14node2pnode_1[36].

Квазиправильные многогранники

[править | править код]

Квазиправильный многоугольник является усечением правильного многоугольника. Квазиправильный многоугольник pnode_1qrnode_1 содержит чередование рёбер правильных многоугольников pnode_1qrnode и pnodeqrnode_1. Квазиправильный многоугольник имеет p вершин на p-рёбрах правильных видов.

Примеры квазиправильных многогранников
p[q]r 2[4]2 3[4]2 4[4]2 5[4]2 6[4]2 7[4]2 8[4]2 3[3]3 3[4]3
Правильный
pnode_1qrnode

node_14node
4 2-ребра

3node_14node
9 3-рёбер

4node_14node
16 4-рёбер

5node_14node
25 5-рёбер

6node_14node
36 6-рёбер

7node_14node
49 8-рёбер

8node_14node
64 8-ребра

3node_133node

3node_143node
Квази-
правильный
pnode_1qrnode_1

node_14node_1 = node_18node
4+4 2-рёбер

3node_14node_1
6 2-рёбер
9 3-рёбер

4node_14node_1
8 2-рёбер
16 4-рёбер

5node_14node_1
10 2- рёбер
25 5-рёбер

6node_14node_1
12 2-рёбер
36 6-рёбер

7node_14node_1
14 2-рёбер
49 7-рёбер

8node_14node_1
16 2-рёбер
64 8-рёбер

3node_133node_1 = 3node_16node

3node_143node_1 = 3node_18node
Правильный
pnode_1qrnode

node_14node
4 2-ребра

node_143node
6 2-рёбер

node_144node
8 2-рёбер

node_145node
10 2-рёбер

node_146node
12 2-рёбер

node_147node
14 2-рёбер

node_148node
16 2-рёбер

3node_133node

3node_143node

Квазиправильные апейрогоны

[править | править код]

Существует 7 квазиправильных комплексных бесконечноугольников, которые чередуют рёбра правильного бесконечноугольника и его двойственного. Расположения вершин[англ.] этого бесконечноугольника имеют представления с правильными и однородными мозаиками евклидовой плоскости. Последний столбец для 6{3}6 содержит бесконечноугольники, которые не только самодвойственны, но для них двойственный совпадает с собой с наложенными шестиугольными рёбрами, так что их квазирегулярные формы также имеют наложенные шестиугольные рёбра и он не может быть нарисован двумя чередующимися цветами, как в других столбцах. Симметрия самодвойственных семейств может быть удвоена, создавая тем самым идентичную геометрию, как в правильных формах: pnode_1qpnode_1 = pnode_12xqnode

Правильный
pnode_1qrnode или p{q}r

4node_18node

4node_144node

6node_16node

6node_143node

3node_112node

3node_163node

6node_136node
Квазиправильный
pnode_1qrnode_1

4node_18node_1

4node_144node_1 = 4node_18node

6node_16node_1

6node_143node_1

3node_112node_1

3node_163node_1 = 3node_112node

6node_136node_1 = 6node_16node
Правильный
двойственный
pnodeqrnode_1 или r{q}p

4node8node_1

4node44node_1

6node6node_1

6node_143node_1

3node12node_1

3node63node_1

6node36node_1

Квазиправильные многоугольники

[править | править код]
Пример усечения 3-обобщённого октаэдра, 2{3}2{4}3, node_13node43node, до его предельного полного усечения, показывающий контурные треугольные грани (зелёные) в начале и 2{4}3, node_143node, (голубые) вершинные фигуры, расширяющиеся до новых граней.

Как и в случае вещественных многогранников, комплексный квазиправильный многогранник может быть построен как полное усечение правильного многогранника. Вершины образуются в середине рёбер правильного многогранника, а грани правильного многогранника и их двойственные попеременно располагаются вдоль общих рёбер.

Например, p-обобщённый куб pnode_14node3node,
имеет p3 вершин, 3p2 рёбер и 3p p-обобщённых квадратных граней, в то время как p-обобщённый октаэдр pnode4node3node_1,
имеет 3p вершин, 3p2 рёбер и p3 треугольных граней. Средняя квазиправильная форма p-обобщённого кубоктаэдра pnode4node_13node,
имеет 3p2 вершины, 3p3 рёбер и 3p+p3 граней.

Также полное усечение многогранника Гессе[англ.] 3node_133node33node — это 3node33node_133node, квазиправильная форма, разделяющая геометрию правильного комплексного многогранника 3node_133node4node.

Квазиправильные примеры
Обобщённый куб/октаэдр Многогранник Гессе[англ.]
p=2 (вещ.) p=3 p=4 p=5 p=6
Обобщённые
кубы
pnode_14node3node
(правильный)

Куб, node_14node3node,
8 вершин, 12 2-рёбер
и 6 граней.

3node_14node3node, 27 вершин, 27 3-рёбер и 9 граней, по одной 3node_14node грани (синяя и красная)

4node_14node3node,
64 вершины,
48 4-рёбер
и 12 граней.

5node_14node3node,
125 вершин,
75 5-рёбер
и 15 граней.

6node_14node3node,
216 вершин,
108 6-рёбер
и 18 граней.

3node_133node33node,
27 вершин,
72 6-ребра
и 27 граней.
Обобщённый
кубоктаэдр
pnode4node_13node
(квазиправильный)

Кубооктаэдр
node4node_13node,
12 вершин,
24 2-ребра
и 6+8 граней.

3node4node_13node,
27 вершин,
81 2-ребро
и 9+27 граней,
одна node_143node грань (синяя)

4node4node_13node,
48 вершин,
192 2-ребра
и 12+64 грани,
одна node_144node грань (синяя)

5node4node_13node,
75 вершин,
375 2-рёбер
и 15+125 граней.

6node4node_13node,
108 вершин,
648 2-рёбер
и 18+216 граней.

3node33node_133node = 3node_133node4node,
72 вершины,
216 3-рёбер
и 54 грани.
Обобщённый
октаэдр
pnode4node3node_1
(правильный)

Октаэдр
node4node3node_1,
6 вершин,
12 2-рёбер
и 8 {3} граней.

3node4node3node_1,
9 вершин,
27 2-рёбер
и 27 {3} граней.

4node4node3node_1,
12 вершин,
48 2-рёбер
и 64 {3} грани.

5node4node3node_1,
15 вершин,
75 2-рёбер
и 125 {3} граней.

6node4node3node_1,
18 вершин,
108 2-рёбер
и 216 {3} граней.

3node33node33node_1,
27 вершин,
72 6-ребра
и 27 граней.

Другие комплексные многогранники с комплексными отражениями периода два

[править | править код]

Другие неправильные комплексные многогранники могут быть построены с помощью комплексных групп отражений, которые не дают линейных графов Коксетера. В диаграммах Коксетера с петлями Коксетер отмечает период, как в диаграмме node_13split1branch или символе и группе [37][38]. Эти комплексные многогранники не исследованы систематически за пределами нескольких частных случаев.

Группа nodepsplit1branch определяется 3 комплексными отражениями, , все порядка 2: . Период p можно рассматривать как двойное вращение в вещественном пространстве .

Как и в случае построений Витхоффа, для многогранников, генерируемых отражениями, число вершин многогранника, имеющего диаграмму Коксетера с одним кружком, равно порядку группы, разделённой на порядок подгруппы, в которой обведённый узел удалён. Например, вещественный куб имеет диаграмму Коксетера node_14node3node, с октаэдральной симметрией[англ.] node4node3node порядка 48 и подгруппу диэдральной симметрии node3node порядка 6, так что число вершин куба равно s 48/6=8. Фасеты строятся путём удаления одного узла, самого удалённого от узла с кружком, например node_14node для куба. Вершинные фигуры генерируются путём удаления обведённого узла и помещения кружка или кружков на соседние узлы, node_13node для куба.

Коксетер представляет эти группы следующими символами. Некоторые группу имеют одинаковый порядок, но различную структуру, определяя то же расположение вершин[англ.] в комплексных многогранниках, но различные рёбра и элементы более высокой размерности, как в диаграммах nodepsplit1branch и node3split1branchlabelp с p≠3[39]

Группы, генерируемые комплексными отражениями
Диаграмма Коксетера Порядок Символ или положение в таблицеVII Шепарда или Тодда (1954)
branchlabelp, (nodepsplit1branch и node3split1branchlabelp), node3node3split1branchlabelp, node3node3node3split1branchlabelp
pn − 1 n!, p ≥ 3
node3split1branch3abnodes, node3split1branch3abnodes3anodea 72•6!, 108•9! № 33, 34, ,
node4split1branchlabel4, (node4split1branchlabel5 и node5split1branchlabel4), (node3node4split1branch и node3node3split1-43branch) 14•4!, 3•6!, 64•5! № 24, 27, 29

Коксетер называет некоторые из этих комплексных многогранников почти правильными, поскольку они имеют правильные фасеты и вершинные фигуры. Первый является вариантом обобщённого кросс-многогранника с меньшей симметрией в . Второй является дробным обобщённым кубом, в котором p-рёбра сведены в отдельные вершины, оставляя простые 2-рёбра. Три из них связаны с конечным правильным косым многогранником в .

Некоторые почти правильные комплексные многогранники[40]
Простран
ство
Группа Порядок Символы
Коксетера
Вершины Рёбра Грани Вершинная
фигура
Примечания

node3split1branchlabelp
p=2,3,4…

node_13split1branchlabelp
3p 3p2 {3} {2p} Символ Шепарда
то же, что и node_13node4pnode

node3split1branch_10llabelp
p2 {3} {6} Символ Шепарда

nodesplit1nodes
24
node_1split1nodes
6 12 8 {3} {4} То же, что и node_13node4node = вещественный октаэдр

nodesplit1nodes_10lu
4 6 4 {3} {3} 1/2 node_h4node3node = = вещественный тетраэдр

node3split1branch
54
node_13split1branch
9 27 {3} {6} Символ Шепарда
то же, что и node_13node43node

node3split1branch_10l
9 27 {3} {6} Символ Шепарда
1/3

node3split1branchlabel4
96
node_13split1branchlabel4
12 48 {3} {8} Символ Шепарда
то же, что и node_13node44node

node3split1branch_10llabel4
16 {3} {6} Символ Шепарда
1/4

node3split1branchlabel5
150
node_13split1branchlabel5
15 75 {3} {10} Символ Шепарда
то же, что и node_13node45node

node3split1branch_10llabel5
25 {3} {6} Символ Шепарда
1/5

node3split1branchlabel6
216
node_13split1branchlabel6
18 216 {3} {12} Символ Шепарда
то же, что и node_13node46node

node3split1branch_10llabel6
36 {3} {6} Символ Шепарда
1/6

node4split1branchlabel4
336
node_14split1branchlabel4
42 168 112 {3} {8} представление {3,8|,4} = {3,8}8

node4split1branch_10llabel4
56 {3} {6}

node4split1branchlabel5
2160
node_14split1branchlabel5
216 1080 720 {3} {10} представление

node4split1branch_10llabel5
360 {3} {6}

node5split1branchlabel4

node_15split1branchlabel4
270 1080 720 {3} {8} представление

node5split1branch_10llabel4
360 {3} {6}

Коксетер определил и другие группы с антиунитарным построением, например, эти три. Первая группа была открыта и нарисована Макмуллен, Питер[англ.] в 1966[41]

Некоторые другие почти правильные комплексные многогранники[40]
Простран
ство
Группа Порядок Символы
Коксетера
Вершины Рёбра Грани Вершинная
фигура
Примечания

nodeanti3split1-44branch
336
node_1anti3split1-44branch
56 168 84 {4} {6} представление

nodeanti3split1-44branchlabel5
2160
node_1anti3split1-44branchlabel5
216 1080 540 {4} {10} представление

nodeanti3split1-55branchlabel4

node_1anti3split1-55branchlabel4
270 1080 432 {5} {8} представление
Некоторые комплексные 4-многогранники[40]
Простран
ство
Группа Порядок Символы
Коксетера
Вершины Другие
элементы
Ячейки Вершинная
фигура
Примечания

node3node3split1branchlabelp
p=2,3,4…

node_13node3split1branchlabelp
4p node_13node3node node_13split1branchlabelp Шепард
то же, что и
node_13node3node4pnode

node3node3split1branch_10lulabelp
node_13node3node
node3split1branch_10lulabelp
node3node_13node_1 Шепард


node3nodesplit1nodes
192
node_13nodesplit1nodes
8 24 ребра
32 грани
16 node_13node3node node_1split1nodes node_13node3node4node, вещественный шестнадцатиячейник

node3nodesplit1nodes_10lu
1/2 node3node3node4node_h = , вещественный шестнадцатиячейник

node3node3split1branch
648
node_13node3split1branch
12 node_13node3node node_13split1branch Шепард
то же, что и
node_13node3node43node

node3node3split1branch_10lu
27 node_13node3node
node3split1branch_10lu
node3node_13node_1 Шепард

node3node3split1branchlabel4
1536
node_13node3split1branchlabel4
16 node_13node3node node_13split1branchlabel4 Шепард
то же, что и
node_13node3node44node

node3node3split1branch_10lulabel4
64 node_13node3node
node3split1branch_10lulabel4
node3node_13node_1 Шепард

node3node3split1-43branch
7680
node_13node3split1-43branch
80 node_13node3node node_13split1-43branch Шепард

node3node3split1-43branch_01l
160 node_13node3node
node3split1-43branch_01l
node3node_14node_1 Шепард
(11 14 2)3
node3node3split1-43branch_10l
320 node_13node3node
node3split1-43branch_10l
node3node_13node_1 Шепард

node3node4split1branch

node_13node4split1branch
80 640 рёбер
1280 треугольников
640 node_13node3node node_14split1branch

node3node4split1branch_10lu
320 node_13node3node
node4split1branch_10lu
node3node_13node_1
Некоторые комплексные 5-многогранники[40]
Простран
ство
Группа Порядок Символы
Коксетера
Вершины Рёбра Фасеты Вершинная
фигура
Примечания

node3node3node3split1branchlabelp
p=2,3,4…
120p4
node_13node3node3split1branchlabelp
5p node_13node3node3node node_13node3split1branchlabelp Шепард
то же, что и node_13node3node3node4pnode

node3node3node3split1branch_10lulabelp
node_13node3node3node
node3node3split1branch_10lulabelp
node3node3node_13node_1 Шепард
1/p γp
5

node3split1branch3abnodes
51840
node3split1branch3abnodes_10l
80 node3split1branch3anodea_1
branch3abnodes_10l
node3split1branch_10lr3bnodeb Шепард

node_13split1branch3abnodes
432 node_13split1branch3anodea branch_113abnodes Шепард
Некоторые комплексные 6-многогранники[40]
Простран
ство
Группа Порядок Символы
Коксетера
Вершины Рёбра Фасеты Вершинная
фигура
Примечания

node3node3node3node3split1branchlabelp
p=2,3,4…

node_13node3node3node3split1branchlabelp
6p node_13node3node3node3node node_13node3node3split1branchlabelp Шепард
то же, что и
node_13node3node3node3node4pnode

node3node3node3node3split1branch_10lulabelp
node_13node3node3node3node
node3node3node3split1branch_10lulabelp
node3node3node_13node_1 Шепард

node3split1branch3abnodes3anodea
39191040
node3split1branch3abnodes3anodea_1
756 branch3abnodes3anodea_1
node3split1branch3anodea3anodea_1
node3split1branch3abnodes_10l Шепард

node3split1branch3abnodes_01lr3anodea
4032 node3split1branch3abnodes_01l
branch3abnodes_01lr3anodea
node3split1branch_01lr3anodea3anodea Шепард

node_13split1branch3abnodes3anodea
54432 node_13split1branch3abnodes
node_13split1branch3anodea3anodea
branch_113abnodes3anodea Шепард

Визуализация

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Orlik, Reiner, Shepler, 2002, с. 477–492.
  2. Coxeter, 1957, с. 115.
  3. Coxeter, 1991, 11.3 Petrie Polygon, простой h-угольник, образованный орбитой флага () для произведения двух генерирующих отражений любого незвёздного правильного комплексного многоугольника, .
  4. Coxeter, 1991, 11.1 Regular complex polygons, с. 103.
  5. Shephard 1952; «Из соглашений, которые мы используем для определения понятия внутренности многогранника, видим, что в унитарном пространстве, где числа не могут быть упорядочены, понятие внутренности определить невозможно.
    Поэтому … нам следует рассматривать унитарные многогранник как конфигурации.»
  6. Coxeter, 1957, с. 96.
  7. Coxeter, 1957, с. 177, Table III.
  8. Coxeter, 1957, с. xiv.
  9. Lehrer, Taylor, 2009, с. 87.
  10. Coxeter, 1957, Table IV. The regular polygons, с. 178—179.
  11. 1 2 Coxeter, 1957, с. 108.
  12. Coxeter, 1957, с. 109.
  13. Coxeter, 1957, с. 111.
  14. Coxeter, 1957, с. 30, diagram и p. 47 indices for 8 3-рёбер.
  15. 1 2 Coxeter, 1957, с. 110.
  16. Coxeter, 1957, с. 48.
  17. Coxeter, 1957, с. 49.
  18. Coxeter, 1957, с. 116–140.
  19. Coxeter, 1957, с. 118–119.
  20. Coxeter, 1957, с. 118—119.
  21. Coxeter, 1991, с. 29.
  22. Coxeter, 1957, Table V. The nonstarry regular polyhedra и 4-polytopes, с. 180.
  23. 1 2 Coxeter, 1957, с. 131.
  24. Coxeter, 1957, с. 126.
  25. Coxeter, 1957, с. 125.
  26. Coxeter, 1957, с. 180.
  27. Coxeter, 1991, Table VI. The regular honeycombs, с. 180.
  28. Coxeter, 1991, с. 174.
  29. Coxeter, 1991, Table VI. The regular honeycombs, с. 111, 136.
  30. Coxeter, 1957, с. 178–179.
  31. Coxeter, 1991, с. 111—112, 11.6 Apeirogons.
  32. Coxeter, 1991, с. 140.
  33. Coxeter, 1957, с. 139—140.
  34. Coxeter, 1991, с. 146.
  35. Coxeter, 1991, с. 141.
  36. Coxeter, 1991, с. 118–119, 138.
  37. Coxeter, 1991, Chapter 14, Almost regular polytopes, с. 156–174.
  38. Coxeter, 1957.
  39. Coxeter, 1966, с. 422—423.
  40. 1 2 3 4 5 Coxeter, 1957, с. 271, Table III: Some Complex Polytopes.
  41. Coxeter, 1991, 14.6 McMullen's two polyhedral with 84 square грани, с. 166—171.
  42. Coxeter, 1991, с. 172—173.

Литература

[править | править код]
  • Coxeter H.S.M. Groups generated by unitary reflections of period two // Canad. J. Math.. — 1957. — Вып. 9. — С. 243—272.
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / сост. F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss. — Wiley-Interscience, 1995. — Т. 19. — (Wiley-Interscience and Canadian Mathematics Series of Monographs and Texts). — ISBN 0471010030.
  • Coxeter. Finite Groups Generated by Unitary Reflections // The Graphical Notation. — 1966. — Вып. 4. — С. 422—423.
  • Coxeter H.S.M. Regular Complex Polytopes. — 2nd. — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-39490-1.
  • Peter Orlik, Victor Reiner, Anne V. Shepler. The sign representation for Shephard groups // Mathematische Annalen. — 2002. — Март (т. 322, вып. 3). — С. 477–492. — doi:10.1007/s002080200001.
  • Coxeter, H. S. M. , Moser W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — С. 67–80. — ISBN 0-387-09212-9.
  • Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C. Portraits of a family of complex polytopes // Leonardo. — 1992. — Т. 25, вып. 3/4. — С. 239–244.
  • Shephard G.C. Regular complex polytopes // Proc. London math. Soc.. — 1952. — Т. 2. — С. 82–97.
  • Shephard G. C., Todd J. A. Finite unitary reflection groups // Canadian Journal of Mathematics. — 1954. — Вып. 6. — С. 274—304. (недоступная ссылка)
  • Gustav I. Lehrer, Donald E. Taylor. Unitary Reflection Groups. — Cambridge University Press, 2009.

Литература для дальнейшего чтения

[править | править код]