Квантиль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем (см. ниже).

Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг»[1] означает, что 90 % мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10 % мальчиков рождаются с весом, большим либо равным 4 кг.

Определение

[править | править код]

Рассмотрим вероятностное пространство и  — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины . Пусть фиксировано . Тогда -квантилем (или квантилью уровня (порядка) ) распределения называется число такое, что[2]

В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) -квантилем называется квантиль уровня , то есть -квантиль в предыдущих обозначениях.

где  — функция распределения .
  • Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:
  1. составляем вариационный ряд значений (выборка имеет объём ), а также считаем, что (это необходимо при вычислении 100 % квантили по приводимым ниже формулам);
  2. находим величину ;
  3. сравниваем и :
a) если , то полагаем ;
б) если , то полагаем ;
в) если , то полагаем .
Заданный таким образом -квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.
В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства можно использовать приближённое сравнение (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

Медиана и квантили

[править | править код]
Квантили нормального распределения
  • 0,25-квантиль называется первым (или нижним) кварти́лем (от лат. quarta — четверть);
  • 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым кварти́лем;
  • 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) кварти́лем.

Интеркварти́льным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть . Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Деци́ль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение[3].

Процентиль

[править | править код]

проценти́лем называют квантиль уровня . Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий квартиль — 25-м и 75-м процентилями соответственно.

В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Процентили также называются перцентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределения

[править | править код]
Вероятность (уровень квантили), % 99,99 99,90 99,00 97,72 97,50 95,00 90,00 84,13 50,00
Квантиль (округлённый до тысячных)[4] 3,719 3,09 2,326 1,999 1,96 1,645 1,282 1 0

Примечания

[править | править код]
  1. Руководство участкового педиатра. — ГЭОТАР-Медиа, 2008. — С. 44. — 354 с.
  2. Фролов А. Н.. Краткий курс теории вероятностей и математической статистики: учебное пособие для СПО. — СПб.: Лань, 2021. — С. 189. — 316 с. — ISBN 978-5-8114-8343-3.
  3. Шмойлова Р. А., Минашкин В. Г., Садовникова Н. А. Практикум по теории статистики. — 3-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2011. — С. 130—131. — 416 с. — ISBN 9785279032969.
  4. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1983. — С. 136. — 416 с.