Квадратичное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над . Можно доказать, что отображение задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным.

Кольцо целых квадратичного поля

[править | править код]

Для любого алгебраического числового поля можно рассмотреть его кольцо целых, то есть множество элементов, являющихся корнями приведенных многочленов с целыми коэффициентами. В случае квадратичного поля это корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, все числа такого вида нетрудно описать.

Пусть  — свободное от квадратов целое число, сравнимое с 2 или 3 по модулю 4. Тогда кольцо целых соответствующего квадратичного поля (обозначаемое ) — это множество линейных комбинаций вида (квадратичных иррациональностей), где , с обычными операциями сложения и умножения комплексных чисел. Соответственно, если , кольцо целых состоит из чисел вида , где .

Примеры колец целых

[править | править код]
Простые числа Эйзенштейна на комплексной плоскости

Дискриминант

[править | править код]

Дискриминант квадратичного поля равен d, когда d сравнимо с 1 по модулю 4, и 4d в противном случае. Например, дискриминант поля гауссовых рациональных чисел равен −4.

Разложение на простые в кольце целых

[править | править код]

Любое кольцо целых является дедекиндовым, поэтому для любого его идеала существует и единственно разложение на простые идеалы. Пусть p — простое число, тогда для главного идеала, порожденного p в (K — произвольное квадратичное поле) возможны следующие три случая:

  • (p) — простой идеал. Факторкольцо по нему — конечное поле из p2 элементов:
  • (p) раскладывается в произведение двух различных простых идеалов.
  • (p) — квадрат простого идеала. Тогда факторкольцо по нему содержит ненулевые нильпотенты.

Третий случай происходит тогда и только тогда, когда p делит дискриминант поля D (например, идеал (2) является квадратом идеала (1+i) в кольце гауссовых целых чисел). Первый и второй случаи происходят когда символ Кронекера равен −1 и 1 соответственно.

Примечания

[править | править код]
  1. Dummit, pagе 229

Литература

[править | править код]
  • Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations (англ.). — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
  • Pierre Samuel. Algebraic number theory (неопр.). — Hermann/Kershaw, 1972.
  • I.N. Stewart[англ.]; D.O. Tall. Algebraic number theory (неопр.). — Chapman and Hall, 1979. — ISBN 0-412-13840-9. Chapter 3.1.
  • Dummit, D. S., Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.