Задача о перемещении дивана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Анимация перемещения дивана Хаммерсли с константой 2,2074

Задача о перемещении дивана была сформулирована канадским математиком австрийского происхождения Мозером[англ.] в 1966 году.

Постановка задачи

[править | править код]

Задача сводится к двумерной идеализации житейской проблемы о перемещении мебели. В двумерном пространстве определите жёсткое тело наибольшей площади А, которое может быть перемещено в Г-образном «коридоре», образованном «тоннелями» шириной в единицу измерения, сходящимися под прямым углом. Полученное значение А принято называть константой дивана (в альтернативных формулировках той же самой задачи этот предмет является идеализацией стола, или же баржи или корабля в Г-образном канале).

Поиски решения

[править | править код]
Диван с константой 2,2195; нижняя оценка Джозефа Гервера

Так как полукруг единичного радиуса легко проводится за угол «коридора», оценкой снизу для константы дивана является . Простая оценка сверху[как?] показывает также, что константа дивана не превышает [1][2], где величина является наибольшей длиной отрезка, который может быть перемещен в данном коридоре.

Джон Хаммерсли[англ.] существенно повысил оценку снизу до с помощью фигуры, напоминающей телефонную трубку (см. рис.), состоящей из двух четвертей кругов единичного радиуса по обеим сторонам от прямоугольника с удалённым полукругом радиуса [3][4][5].

В 1992 году Джозеф Гервер дополнительно улучшил оценку константы дивана снизу до , затем эта оценка была улучшена до . Его фигура ограничена восемнадцатью дугами аналитических кривых[6][7].

В июне 2017 Йоав Каллус и Дэн Ромик улучшили оценку сверху для константы дивана до .[8]

Определение точного значения константы дивана является открытой проблемой.

Численная оптимизация

[править | править код]

Численная оптимизация позволяет определить константы дивана для различных стандартных кривых.

Численный поиск константы обобщенного дивана Хаммерсли

В диване Хаммерсли используются внешние круги единичного радиуса, но если снять это ограничение, то константу дивана можно повысить до ~2.21302924761374 при этом внешние четверти кругов будут иметь радиус ~0.91363796343492 и общая длина будет равна ~3.21033227646884. Назовем такой диван обобщенным диваном Хаммерсли.

Разбив внешний круг на два круга, с точкой касания при касательной в 45 градусов, можно получить константу дивана ~2.21918785. Радиус окружности при основании R1~1.16134066, а её центр смещен вниз на B~0.01740046. Радиус верхней окружности равен R2~0.71499114, а длина дивана L~3.22797195. Если дополнительно произвести оптимизацию с учётом угла наклона касательной, в точке касания внешних кругов, то можно получить константу дивана ~2.219237814, при этом R1~1.19650, B~0.02777, R2~0.72655, касательная при 39.86407 градусах и L~3.22848.

Примечания

[править | править код]
  1. Neal R. Wagner. The Sofa Problem (неопр.) // The American Mathematical Monthly. — 1976. — Т. 83. — С. 188—189. — doi:10.2307/2977022. Архивировано 20 апреля 2015 года.
  2. Я. Стюарт, Another Fine Math You’ve Got Me Into, Courier Dover Publications, 2004.
  3. H. T. Croft, K. J. Falconer, R. K. Guy. Unsolved Problems in Geometry (неопр.). — Springer, 1994. — С. 198. — ISBN 9780387975061.
  4. Задача о перемещении дивана на Mathsoft (содержит диаграмму дивана Гервера)
  5. Форум Gambler.ru — Тема: Коридор, Г Архивная копия от 14 марта 2012 на Wayback Machine (содержит диаграмму дивана Гервера)
  6. Joseph L. Gerver. On Moving a Sofa Around a Corner (неопр.) // Geometriae Dedicata. — 1992. — Т. 42, № 3. — С. 267—283. — doi:10.1007/BF02414066.
  7. Weisstein, Eric W. Задача о перемещении дивана (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  8. Yoav Kallus, Dan Romik. Improved upper bounds in the moving sofa problem // arXiv:1706.06630 [math]. — 2017-06-21. Архивировано 21 августа 2017 года.