Задача о падающей кошке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Модель падающей кошки — две части, независимо вращающиеся и поворачивающиеся как единой целое, что позволяет сохранять угловой момент

Задача о падающей кошке состоит в объяснении с точки зрения физики явления, наблюдаемого при падении кошки с некоторой высоты: кошка приземляется на лапы, независимо от того, как было ориентировано тело кошки относительно земли в начале падения. Это происходит даже в том случае, если кошка в момент начала падения не вращалась, и, следовательно, её тело не имело углового момента. Этот наблюдаемый факт находится в противоречии с законом сохранения углового момента, согласно которому угловой момент замкнутой системы тел не может измениться, если на систему не действуют внешние силы. Суть задачи о падающей кошке состоит в объяснении, каким образом свободно падающее тело (кошка) может прийти во вращение и перевернуться, не нарушая закон сохранения углового момента.

В настоящее время считается, что падающая кошка достаточно хорошо описывается моделью из двух связанных между собой цилиндров, способных менять положение в пространстве относительно друг друга[1].

История вопроса

[править | править код]

Способность кошки переворачиваться в воздухе и приземляться на лапы издавна интересовала ученых и порождала различные теории, объясняющие, каким образом это происходит. Поскольку закон сохранения углового момента является одним из фундаментальных законов и не может нарушаться, первоначально ученые, рассматривая кошку как твердое тело, считали, что переворот в воздухе при отсутствии начального углового момента невозможен, и кошка переворачивается за счет того, что в момент начала падения она отталкивается от рук отпускающего её человека или от другого объекта, с которого она начинает падение, и приобретает таким образом начальный угловой момент. Эта точка зрения, противоречащая современным представлениям, была распространена до появления фотографии, поскольку невооруженным глазом сложно заметить все особенности движения кошки при падении из-за высокой скорости движения[2].

В 1894 году французский физиолог Этьен-Жюль Маре с помощью скоростной фотосъемки сделал и опубликовал серию фотографий падающей кошки, демонстрирующих различные стадии падения и переворота. Вслед за этим во французских научных журналах за короткое время было опубликовано 5 статей, авторы которых комментировали результаты Маре и пытались построить теории, объясняющие движение кошки при падении[3]. Все исследователи исходили из того, что кошка не является абсолютно твердым телом и меняет форму своего тела в процессе падения, из-за чего следует рассматривать более сложные модели, чем свободное падение твердого тела; в остальном теории разнились. Так, М. Гийу[4] считал, что кошка переворачивается, вращая верхнюю половину своего тела относительно живота в разные стороны. Если при этом кошка будет периодически прижимать и расправлять передние и задние лапы, изменяя таким образом угловой момент каждой половины тела, то она может постепенно поворачиваться вокруг своей оси, не нарушая законов динамики, однако в дальнейшем не было найдено подтверждений тому, что кошки поступают именно так[3]. Другой исследователь, Л. Лекорну, рассматривал[5] кошку как согнутый посередине цилиндр, и утверждал, что любое тело такой формы может без внешнего воздействия повернуться вокруг прямой, соединяющей какие-либо две точки согнутой оси цилиндра, и для этого достаточно последовательно поворачивать каждое из сечений цилиндра, перпендикулярных его оси; животные (например, кошка или змея) могут делать это за счет скоординированных мышечных усилий. Точка зрения Лекорну близка к современной, однако его работа осталась практически неизвестной за пределами узкого круга французских физиологов[3].

В 1935 году нидерландские исследователи Радемакер и тер Брак опубликовали статью[6], в которой предложили рассматривать кошку как систему из двух связанных между собой цилиндров, один из которых моделирует переднюю половину тела кошки, а второй — заднюю. Используя основные законы механики, Радемакер и тер Брак смогли вычислить основные свойства такой системы. В дальнейшем другие исследователи отмечали, что проведенный Радемакером и тер Браком анализ изложен в их работе недостаточно ясно, и поэтому сложно оценить его корректность[3]. Тем не менее сама модель падающей кошки как системы из двух цилиндров получила распространение среди исследователей этой проблемы, и на работу Радемакера и тер Брака неоднократно ссылались ученые, которые пытались улучшить излагаемую ими модель[7][3].

Современные представления

[править | править код]

В 1969 году исследователи из Стэнфордского университета Т. Кейн и М. Шер опубликовали в журнале International Journal of Solids and Structures статью под названием «Объяснение феномена падающей кошки с точки зрения динамики» (A dynamical explanation of the falling cat phenomenon)[7], разработанную в рамках научно-исследовательского контракта с NASA[8]. Как заявляют авторы в преамбуле статьи, она представляет собой очередную попытку построить достаточно простую механическую систему, движение которой, осуществляемое в соответствии с законами динамики, воспроизводило бы отличительные особенности движения падающей кошки.

Авторы статьи исходят из следующих ключевых особенностей движения кошки, формулируемых в начале статьи:

  • Тело кошки в процессе переворота изгибается, но не скручивается.
  • На пути от верхней точки траектории к нижней тело кошки изгибается в разные стороны: в момент начала падения, когда кошка повернута лапами вверх, её тело согнуто вперед (то есть передние лапы приближаются к задним), затем оно сгибается в боковом направлении, потом выгибается назад, затем в противоположном боковом направлении, и, наконец, снова сгибается вперед, после чего кошка уже повернута лапами вниз и готова приземлиться.
  • Изгиб тела кошки назад значительно менее выражен, чем изгиб вперед[7].

Исходя из такого взгляда на поведение падающей кошки, Кейн и Шер, вслед за Радемакером и тер Браком, моделируют свободно падающее тело кошки с помощью системы из двух твердых тел (цилиндров), связанных между собой гибким креплением в одной точке и способных менять положение в пространстве относительно друг друга, оставаясь связанными. В начальный момент времени цилиндры располагаются под углом друг к другу, точка их соединения направлена вниз, что соответствует изгибу кошки вперед. В статье рассматриваются процессы, происходящие при одновременном вращении двух цилиндров, и показывается, что в случае, если такое вращение сопровождается сменой направления изгиба системы цилиндров, при определённых значениях скоростей вращения и углов изгиба можно добиться того, что угловые моменты, возникающие из-за вращения и изменения формы тела, будут компенсироваться, и полный угловой момент системы цилиндров (с учётом того, что угловой момент — векторная величина) всегда будет равен нулю. Каждый из цилиндров может при этом совершить оборот на 180 градусов, и в результате цилиндры оказываются в том же положении относительно друг друга, что и в начале движения, но теперь точка соединения цилиндров направлена вверх.

Таким образом, согласно модели Кейна и Шера, кошка, изогнув свое тело вперед в начале падения, вращает с помощью мускульной силы переднюю и заднюю половину тела одновременно, компенсируя возникающий угловой момент изменением направления изгиба, в результате чего полный угловой момент кошки остается равным нулю, и кошка может перевернуться, не нарушая законы динамики[9].

В 1979 году нидерландские ученые Д. Герритсен и М. Кёйперс опубликовали в Journal of Engineering Mathematics статью «К вопросу о вращательном движении свободно падающего тела человека или животного» (On the angular motion of a free falling human or animal body), в которой, независимо от Кейна и Шера, рассматривают ту же модель кошки как системы двух цилиндров и приходят к аналогичным выводам[3].

В 1993 году американский профессор математики Ричард Монтгомери опубликовал в журнале Филдсовского института статью «Калибровочная теория падающей кошки» (Gauge theory of the falling cat)[1], в которой, опираясь на кинематико-динамическую теорию, изложенную Кейном и Шером, исследует вопрос, какой должна быть общая стратегия осуществления переворота в воздухе, и какой способ переворота является наиболее оптимальным; Монтгомери рассматривает эти вопросы с точки зрения теории управления[10].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Montgomery, R. (1993), «Gauge Theory of the Falling Cat», in M.J. Enos, Dynamics and Control of Mechanical Systems. Дата обращения: 9 января 2020. Архивировано 25 января 2021 года.
  2. McDonald, Donald (30 June 1960). «How does a cat fall on its feet?». The New Scientist
  3. 1 2 3 4 5 6 D. J. Gerritsen, M. Kuipers. On the angular motion of a freely falling human or animal body. Journal of Engineering Mathematics, октябрь 1979, том 13, выпуск 4. Дата обращения: 9 января 2020. Архивировано 13 июня 2018 года.
  4. M. Guyou, Note relative à la Communication de M. Marey, C.R. Acad. Sci., Paris, 119 (1894)
  5. L. Lecornu, Sur une application du principe des aires, C.R. Acad. Sci., Paris, 119 (1894)
  6. G. G. J. Rademaker and J. W. G. ter Braak, Das Umdrehen der fallenden Katze in der Luft, Acta Oto-Laryng., Stockh., 23 (1935)
  7. 1 2 3 Kane, T R; Scher, M P. (1969), «A dynamical explanation of the falling cat phenomenon», Int J Solids Structures. Дата обращения: 9 января 2020. Архивировано 22 февраля 2020 года.
  8. База данных NASA
  9. R. Mehta. Mathematics of the Falling Cat. Pennsylvania State University, 2012. Дата обращения: 9 января 2020. Архивировано 15 апреля 2020 года.
  10. Batterman, R (2003), «Falling cats, parallel parking, and polarized light» (PDF), Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. Дата обращения: 9 января 2020. Архивировано 20 июля 2018 года.