Гипотеза Гильбрайта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждающая, что если взять последовательность простых чисел и итерационно применять к ней разностный оператор, то получаемые на каждом шаге последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 году Норманом Гильбрайтом[1]. Однако, ещё в 1878 году Франсуа Прот[англ.] публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным[1].

Истоки гипотезы

[править | править код]

Рассмотрим последовательность простых чисел

Вычислим абсолютные значения разностей между каждой парой соседних членов и выпишем полученную последовательность:

Продолжая выполнять данную операцию для каждой новой полученной последовательности, будем получать следующее:

Видим, что первый элемент каждой последовательности равен .

Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим упорядоченную последовательность простых чисел , и определим члены последовательности как

,

где n — натуральное. Считаем также, что и для каждого натурального , определим последовательность формулой

.

(здесь  — это не степень, а верхний индекс)

Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности равен .

Проверка и попытки доказательства

[править | править код]

На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, Франсуа Прот[англ.] привёл доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. Эндрю Одлыжко[англ.] в 1993 проверил, что равно 1 для всех [2], но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех рядов таблицы, Одлыжко вычислил 635 рядов и установил, что 635-й ряд начинается с 1 и далее вплоть до -го элемента состоит только из чисел 0 и 2. Отсюда следует, что все последующие рядов начинаются с единицы.

Последовательности для простых чисел до 150

[править | править код]

В таблице ниже нули выделены зелёным цветом, единицы — красным, двойки — синим, прочие числа — серым. Суть гипотезы состоит в том, что серая область никогда не достигнет красного столбца из единиц.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149
1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 4 14 4 6 2 10
1 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 0 4 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 10 10 2 4 8
1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 4 0 2 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 8 0 8 2 4
1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 4 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 0 8 8 8 6 2
1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 8 0 0 2 4
1 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 2 8 8 0 2 2
1 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 6 0 8 2 0
1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 4 6 8 6 2
1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 4
1 0 0 0 0 0 2 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2
1 0 0 0 0 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 0 0 2
1 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 2 0 0 2
1 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 2 2 0 2
1 0 2 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2
1 2 0 2 2 0 2 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0
1 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 2 0 2 0 2 2 2 2
1 0 2 2 0 0 0 0 2 0 2 2 2 2 2 0 0 0
1 2 0 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0
1 2 2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 2 0
1 0 0 2 0 2 2 0 2 2 0 0 2 0 2
1 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2
1 2 0 0 2 2 0 2 2 2 2 0 0
1 2 0 2 0 2 2 0 0 0 2 0
1 2 2 2 2 0 2 0 0 2 2
1 0 0 0 2 2 2 0 2 0
1 0 0 2 0 0 2 2 2
1 0 2 2 0 2 0 0
1 2 0 2 2 2 0
1 2 2 0 0 2
1 0 2 0 2
1 2 2 2
1 0 0
1 0
1

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Caldwell, Chris, "The Prime Glossary: Gilbreath's conjecture", The Prime Pages, Архивировано 26 мая 2012 Источник. Дата обращения: 3 февраля 2012. Архивировано 24 марта 2012 года..
  2. Odlyzko, A. M. (1993), "Iterated absolute values of differences of consecutive primes", Mathematics of Computation, 61: 373—380, Архивировано 27 сентября 2011, Дата обращения: 3 февраля 2012 Источник. Дата обращения: 3 февраля 2012. Архивировано 27 сентября 2011 года..

Литература

[править | править код]
  • В.  Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — Л., ФизМатЛит, 1963.