Выразимость в радикалах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операцийсложения, вычитания, умножения, деления.

Первичные определения

[править | править код]

Стандартное определение

[править | править код]

Элемент поля называется выразимым в радикалах над подполем поля , если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля , значение которого равно . В случае, если в поле корень является многозначной функцией, считается достаточным равенство числа хотя бы одному из возможных значений алгебраического выражения.

Иначе говоря, множество выразимых в радикалах чисел состоит из множества значений всех рациональных выражений, частных сумм радикалов от значений рациональных выражений и частных сумм вложенных радикалов от значений рациональных выражений.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

[править | править код]

Пусть является подполем поля . Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей , что и [nb 1] для любого от до , где — такое число из поля , что для некоторого натурального число принадлежит . Число называется выразимым в радикалах над подполем поля , если при некотором для него найдутся такие наборы и , что [1].

Прочие определения

[править | править код]
  • Действительное число называется выразимым в действительных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел поля действительных чисел . Корни чётной степени в принимающем значение алгебраическом выражении при этом позволяется брать только из неотрицательных чисел, то есть значение любого подвыражения рассматриваемого выражения должно иметь нулевую мнимую часть.
  • Комплексное число (которое может являться и действительным) называется выразимым в комплексных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел поля комплексных чисел . Выразимое в действительных радикалах число всегда является выразимым в комплексных радикалах. Первичное возникновение комплексных чисел в алгебраическом выражении, принимающем значение , может происходить только благодаря извлечению корня чётной степени из отрицательных чисел. Для упрощения работы с неоднозначностью корней -ой степени в комплексных числах применяются различные методы указания на то, какой из корней является необходимым для получения данного числа: например, комплексные корни из единицы, являющиеся важными константами, пронумерованы явно в порядке против часовой стрелки на стандартной комплексной плоскости, начиная с самой единицы.
  • Элемент поля называется выразимым в радикалах степени над подполем поля , если некоторое алгебраическое выражение с числами из , значение которого равно , из возможных корней содержит только корни степени . В частности, при число называется выразимым в квадратных радикалах, а при выразимым в кубических радикалах. Возможны также комбинации: например, числа и являются выразимыми в квадратных и кубических радикалах над полем рациональных чисел . Определение, не выходящее за рамки стандартного формального языка, имеет следующий вид: элемент поля называется выразимым в радикалах степени над подполем поля , если он выразим в радикалах над полем и все , участвующие в определении выразимости в радикалах для , данном выше, равны [1].
  • Число, выразимое в действительных квадратных радикалах, называется вещественно построимым[2].
  • Пусть поле. Тогда поле [nb 2], где и , называется радикальным расширением поля [3]. Таким образом, в построенной выше цепочке полей каждое следующее является некоторым радикальным расширением предыдущего. В случае указанное поле называется квадратичным расширением поля , то есть число, выразимое в квадратных радикалах, принадлежит очередному полю в цепочке квадратичных расширений изначального подполя[4].
  • Число, выразимое в радикалах, называется выразимым за радикалов, если среди всех равных ему алгебраических выражений минимальное количество корней в них равно [5].
  • Число выразимо в действительных квадратных радикалах, то есть вещественно построимо. Одновременно оно выразимо в действительных радикалах любой степени вида , где — натуральное, так как .
  • Число также на первый взгляд кажется выразимым только в радикалах любой степени вида , однако на самом деле оно выразимо в радикалах любой степени и любого вида, так как для любого .
  • Не всегда сразу можно определить и такое минимальное , что рассматриваемое число выразимо за радикалов, так как с виду выразимое за два квадратных радикала число на самом деле равно и является выразимым за один квадратный радикал.
  • Больше подобных примеров приведено в статье вложенные радикалы.
  • Число выразимо в радикалах над подполем поля , так как единственный корень чётной степени в данном алгебраическом выражении извлекается из неотрицательного числа , но не выразимо в действительных радикалах, так как . В отличие от предыдущих пунктов, в данном случае мы можем говорить о негативном свойстве рассматриваемого числа на основании конкретной его записи, так как, предположив, что оно выразимо в действительных радикалах, мы легко получили бы алгебраическое выражение для , которого не существует в силу трансцендентности этого числа (см. раздел общие свойства).
  • Под выразимостью в радикалах в отношении действительного числа без прочих уточнений в литературе обычно подразумевается выразимость в комплексных радикалах.

Первичные определения

[править | править код]

Стандартное определение

[править | править код]

Функция , принимающая значения в поле и зависящая от некоторого количества параметров, называется выразимой в радикалах над подполем поля , если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля и указанные параметры, значение которого совпадает со значением при любых допустимых значениях этих параметров[6].

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

[править | править код]

Пусть является подполем поля . Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей , элементами которых являются функции из (возможно, без нескольких точек во избежание деления на ноль) в , что состоит из всех рациональных функций над , а [nb 3] для любого от до , где — такая непрерывная функция на , что для некоторого натурального функция принадлежит . Функция называется выразимой в радикалах над подполем поля , если при некотором для неё найдутся такие наборы и , что .

Прочие определения

[править | править код]
  • Многозначная функция называется выразимой в радикалах над подполем , если все выделяемые из неё однозначные функции также выразимы в радикалах над подполем .
  • Многочлен от одной переменной, зависящий от некоторого количества параметров (определяющих некоторые его коэффициенты), называется разрешимым в радикалах, если выразима в радикалах непрерывная и, возможно, многозначная функция, сопоставляющая набору значений параметров соответствующий ему набор корней многочлена.
  • Алгебраическое уравнение называется разрешимым в радикалах, если разрешим в радикалах многочлен, приравнивающийся к нулю в этом уравнении[4][7].
  • К функциям и многочленам применимы все ограничения определения выразимости и разрешимости в радикалах соответственно, указанные выше. Например, функция , определённая как на всей действительной прямой, выразима в квадратных комплексных радикалах.
  • Многозначная функция , выразима в радикалах, так как все шесть выделяемых из неё однозначных функций удовлетворяют условию , где алгебраическое выражение, использующее только переменную, выступающую в качестве аргумента функции, и комплексные числа.
  • Многочлен разрешим в комплексных квадратных радикалах, так как при любом его корни задаются функцией . Однако разрешимым в действительных радикалах этот многочлен может являться только при том ограничении, что число принадлежит множеству неположительных чисел.
  • В случае с комплексной функцией без уточнения подполя оно обычно подразумевается равным тому же множеству комплексных чисел .
  • Важно отметить тот факт, что выразимость в радикалах функции и выразимость в радикалах образа каждого элемента при её применении не равносильны: к примеру, удовлетворяющая второму условию функция на может не быть непрерывной, в то время как для удовлетворяющей первому условию это требование обязательно.

Общие свойства

[править | править код]
  • Множества выразимых в радикалах чисел и выразимых в радикалах функций являются полями, содержащими поля, над которыми они выразимы в радикалах, в качестве подполей.
  • Любое выразимое в радикалах комплексное число является алгебраическим, однако не любое алгебраическое число выразимо в радикалах. Первое утверждение следует из алгебраичности рациональных чисел и из того, что множество алгебраических чисел является полем (на каждом шаге перехода от к в определении выразимого в радикалах числа алгебраические числа порождают только алгебраические). Второе утверждение следует из нижеследующей теоремы о существовании уравнения степени с целыми коэффициентами, хотя бы один из корней которого невыразим в радикалах. Точно также, любая выразимая в радикалах функция является алгебраической, в то время как не всякая алгебраическая функция выразима в радикалах. Иными словами, поле алгебраических чисел содержит поле чисел, выразимых в радикалах, а поле алгебраических функций содержит поле функций, выразимых в радикалах, однако обратные утверждения неверны.
  • Любая выразимая в радикалах функция переводит множества чисел, выразимых в радикалах, алгебраических чисел и трансцендентных чисел над тем же полем внутрь них самих. В случае, если аргумент многозначной выразимой в радикалах функции целиком состоит из чисел одного из этих множеств, образ также попадает в него. Однако только последние два множества всегда целиком являются образами себя. Получить выразимое в радикалах число, получаемое при применении выразимой в радикалах функции только к невыразимым в радикалах числам, можно следующим образом: возьмём многочлен степени с целыми коэффициентами, ни один из корней которого не выразим в радикалах и свободный член которого не равен нулю (по теореме Кронекера, описанной ниже, в качестве такого многочлена может подойти, к примеру, [2]). Тогда функция, заданная таким многочленом без свободного члена, принимает равное ему значение только в корнях этого многочлена, невыразимых в радикалах, в то время как сам свободный член является целым числом и, очевидно, выражается в любых радикалах.
  • Основная теорема теории геометрических построений: при наличии на плоскости отрезка длины отрезок длины построим циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число является вещественно построимым (то есть выразимо в квадратных действительных радикалах)[2][1][8][9]. Отсюда следует невозможность квадратуры круга и удвоения куба циркулем и линейкой, поскольку в итоге будут получены непостроимые вещественно числа и соответственно[1].
  • В более общем виде рассмотренная выше теорема звучит так: при данных отрезках длин отрезок длины можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда [1].
  • Теорема Гаусса: Число вещественно построимо тогда и только тогда, когда , где все — попарно различные простые числа Ферма. Из данной теоремы, в частности, следует, что число не является вещественно построимым, то есть провести циркулем и линейкой трисекцию угла , а значит, и произвольного угла, невозможно[2][1]. Аналогичным образом доказывается невозможность разбиения произвольного угла на любое количество равных частей, не являющееся степенью двойки — если бы такое разбиение было возможно, то можно было бы построить углы вида , что возможно только при .
Список алгебраических выражений для тригонометрических функций некоторых углов приведён в статье Тригонометрические константы. Побочный результат рассмотренной теоремы состоит в том, что значения тригонометрических функций в угле, составляющем целое число градусов, выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда это число делится на .
  • Теорема Гаусса — Ванцеля также сразу следует из приведённой выше теоремы Гаусса и гласит, что правильный -угольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда , где все — попарно различные простые числа Ферма, то есть тогда и только тогда, когда косинус его центрального угла, равного , вещественно построим[2][9][4].
  • Несмотря на указанные выше факты, косинус любого угла, кратного , выразим в комплексных радикалах, так как , где — второй в стандартной нумерации корень из единицы после самой единицы, а число выражается через или при помощи многочленов Чебышёва. Однако даже в тех случаях, когда косинус данного угла выразим только в комплексных радикалах произвольной степени, но не в квадратных действительных, минимальная степень радикалов соответствующего выражения не обязательно равна : например, , то есть это число выразимо в квадратных и кубических радикалах (в данном случае для получения верного значения среди возможных девяти следует взять значения кубических корней с наибольшей действительной частью).
  • Группа Галуа выражающейся в комплексных радикалах функции разрешима[6]. (В данном случае под "группой Галуа функции" подразумевается группа перестановок листов римановой поверхности функции, порождённая кольцевыми перестановками вокруг точек разветвления этой поверхности.)
  • Производная функции, выражающейся в радикалах, также выражается в радикалах, поскольку производные всех допустимых в алгебраических выражениях арифметических операций, применённых к функциям, являются алгебраическими выражениями, использующими только значения этих функций и, в случае с корнем, его степень, в качестве переменных:




  • Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа в общем виде разрешима[10].
  • Теорема Кронекера: хотя бы один из корней неприводимого в рациональных числах уравнения простой степени с целыми коэффициентами выразим в радикалах как число только в том случае, если среди них ровно один или ровно действительных[2][3]. Из этого путём построения неприводимого многочлена степени с целыми коэффициентами и тремя действительными корнями (примером такого многочлена может служить ) мгновенно выводится частный случай следующей теоремы для поля рациональных чисел :
  • Теорема Абеля-Руффини, гласящая, что уравнения любой степени, не меньшей , с целыми коэффициентами не разрешимы в радикалах в общем виде (то есть при параметризации всех их коэффициентов).
  • Однако уравнения с целыми коэффициентами степени до включительно разрешимы (см. Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение, Уравнение четвёртой степени). При этом линейные уравнения разрешимы и без использования радикалов, квадратные — только с использованием квадратных радикалов (а при действительных корнях ещё и действительных), кубические и четвёртой степени — только с использованием действительных квадратных и комплексных кубических радикалов [2][5]. Более того, как видно из формул для решения всех этих уравнений (для и степеней см. Формула Кардано и Формула Феррари), они разрешимы даже над полем рациональных чисел.
  • Уравнения более узкого класса, называемые возвратными, разрешимы в радикалах вплоть до степени включительно. Возвратные многочлены нечётной степени имеют вид и представляются в виде произведения скобки и некоторого возвратного же уравнения чётной степени, а оно, в свою очередь, выглядит следующим образом: и может быть при записано в виде , что при откидывании первого множителя может быть преобразовано в многочлен относительно степени . По приведённой выше теореме Абеля-Руффини такое уравнение разрешимо в радикалах вплоть до , следовательно, возвратное уравнение разрешимо в радикалах вплоть до степени [11].
  • Также нетрудно убедиться по индукции по , что разрешимы в радикалах в общем виде многочлены вида , где — многочлены степени не выше . Частный случай вида , где - многочлен степени, называется биквадратным уравнением и, будучи записанным в виде , имеет четыре корня, равные .
  • Пусть неприводимый многочлен над полем , а поле его разложения. Многочлен разрешим в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда (то есть размерность как линейного пространства над полем равна для некоторого натурального )[1].

Происхождение термина

[править | править код]

Под «радикалами» во всех рассмотренных словосочетаниях подразумеваются математические корни целой степени — это слово ведёт своё происхождение от латинского слова «radix», имеющего, помимо прочего, то же значение. Так как операции сложения и умножения вместе с обратными к ним, также разрешённые в алгебраических выражениях, формально определяются до возведения в степень, а значит, и корня, именно корень, как "крайняя" допустимая операция, фигурирует в названии свойства.

  1. Здесь запись обозначает минимальное расширение поля , содержащее элемент , то есть пересечение всех содержащих его расширений .
  2. Здесь запись обозначает минимальное расширение поля , содержащее элемент , то есть пересечение всех содержащих его расширений .
  3. Здесь запись обозначает минимальное расширение поля , содержащее элемент , то есть пересечение всех содержащих его расширений .

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 4 5 6 7 Е.Бунина "Сепарабельные многочлены. Группа Галуа. Выразимость в радикалах. Неразрешимые задачи на построения.". Дата обращения: 5 мая 2020. Архивировано 22 сентября 2018 года.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 А.Скопенков "Ещё несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах". Дата обращения: 5 мая 2020. Архивировано 20 января 2021 года.
  3. 1 2 В.Тихомиров "Абель и его великая теорема" (журнал Квант, 2003, январь). Дата обращения: 5 мая 2020. Архивировано 20 января 2022 года.
  4. 1 2 3 Куликов Л.Я. "Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для педагогических институтов"
  5. 1 2 "Решение уравнений с использованием одного радикала" (Летняя конференция Турнира Городов). Дата обращения: 5 мая 2020. Архивировано 20 января 2022 года.
  6. 1 2 Алексеев В.Б. "Теорема Абеля в задачах и решениях". Дата обращения: 5 мая 2020. Архивировано 6 августа 2020 года.
  7. Решение уравнений в радикалах (Интерактивная информационно-консультационная среда). Дата обращения: 5 мая 2020. Архивировано 10 августа 2016 года.
  8. А.Адлер "Теория геометрических построений". Дата обращения: 5 мая 2020. Архивировано из оригинала 27 мая 2020 года.
  9. 1 2 М.Баландин "Введение в построения циркулем и линейкой"
  10. Лекция в НИУ ВШЭ. Дата обращения: 17 мая 2020. Архивировано 29 марта 2017 года.
  11. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. "Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства"

Литература

[править | править код]