Функции параболического цилиндра

Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.

В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения

${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(az^{2}+bz+c\right)f=0.\quad (1)$

График функций Вебера с положительным целым индексом

При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении получается уравнение:

${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(\nu +{\frac {1}{2}}-{\frac {z^{2}}{4}}\right)f=0,$

решения которого называются функциями Вебера и обозначаются $D_{\nu }(z).$

Функции $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)$ являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом $\nu$ функции $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)$ линейно независимы. Для всех $\nu$ функции $D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)$ также линейно независимы.

График функций Эрмита с положительным индексом

График функций Эрмита с отрицательным целым индексом

На практике часто пользуются и другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из $(1)$ заменой $f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)$

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+2\nu y=0.\qquad (2)$

Функции Эрмита обозначаются $H_{\nu }(z).$ Общее решение уравнения $(2):$

$y(z)=c_{1}H_{\nu }(z)+c_{2}\Phi \left(-{\frac {\nu }{2}};{\frac {1}{2}};z^{2}\right),$

где $\Phi \left(\alpha ;\beta ;z\right)$ — вырожденная гипергеометрическая функция.

При целом неотрицательном $\nu$ функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном $\nu$ функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Рекуррентные соотношения

$D_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\nu +1)}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(iz)+e^{-{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(-iz)\right)$

$D_{\nu }(z)=zD_{\nu -1}(z)-(\nu -1)D_{\nu -2}(z)$

$H_{\nu }(z)=2zH_{\nu -1}(z)-2(\nu -1)H_{\nu -2}(z)$

$H_{\nu }(z)={\frac {2z}{2(\nu +1)}}H_{\nu +1}(z)-{\frac {1}{2(\nu +1)}}H_{\nu +2}(z)$

$2\nu ~H_{\nu -1}(z)+H_{\nu +1}(z)=2zH_{\nu }(z)$

Формулы дифференцирования

${\frac {d}{dz}}~D_{\nu }(z)=-{\dfrac {1}{2}}zD_{\nu }(z)+\nu D_{\nu -1}(z)$

${\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)=2\nu H_{\nu -1}(z)$

${\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)-2zH_{\nu }(z)=-H_{\nu +1}(z)$

${\frac {d}{dz}}{\Bigl [}e^{-z^{2}}~H_{\nu }(z){\Bigr ]}=-e^{-z^{2}}H_{\nu +1}(z)$

Литература

• Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
• Бейтмен, Эрдейи Высшие трансцендентные функции, том 2

H.F. Weber, "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+k^{2}u=0$" Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36

Ссылки

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 1972, Dover: New York. chapter 19.
• Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Function. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Differential Equation. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.