Теорема Миттаг-Леффлера

Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби.

Теорема

Пусть мероморфная функция $f(z)$ имеет в точках $z=a_{k},|a_{1}|\leqslant |a_{2}|\leqslant \ldots \leqslant |a_{k}|\leqslant \ldots$ полюсы с главными частями $g_{k}({\frac {1}{z-a_{k}}})=G_{k}(z)$ и пусть $h_{k}^{(p)}=G_{k}(0)+G_{k}^{1}(0)z+\ldots +{\frac {G_{k}^{(p)}(0)}{p!}}z^{p}$ будут отрезки тейлоровских разложений $g_{k}\left({\frac {1}{z-a_{k}}}\right)$ по степеням $z$. Тогда существует такая последовательность целых чисел $p_{k}$ и такая целая функция $f_{0}(z)$, что для всех $z\neq a_{k}$ имеет место разложение $f(z)=f_{0}(z)+\sum _{k=1}^{\infty }\left\{g_{k}\left({\frac {1}{z-a_{k}}}\right)-h_{k}^{p_{k}}(z)\right\}$, абсолютно и равномерно сходящееся в любом конечном круге $|z|\leqslant A$.

Следствие

Любая мероморфная функция $f(z)$ представима в виде суммы ряда $f(z)=h(z)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)$ , где $h$ — целая функция, $g_{n}$ — главные части лорановских разложений в полюсах $f(z)$, занумерованных по возрастанию их модулей, и $P_{n}$ — некоторые многочлены.

Литература

• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 313