Сходимость почти всюду
(перенаправлено с «Сходимость почти наверное»)
Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру[1].
Определение[править | править код]
Пусть — пространство с мерой, и . Говорят, что сходится почти всюду, и пишут -п.в., если[1]
- .
Терминология теории вероятностей[править | править код]
Если есть вероятностное пространство, и — случайные величины, такие что
- ,
то говорят, что последовательность сходится почти наверное к [2].
Свойства сходимости п.в.[править | править код]
- Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
- Пусть , где , и сходится почти всюду к . Пусть также существует функция такая, что для всех и почти всех (суммируемая мажоранта). Тогда , и в . Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в . Например, последовательность функций сходится к 0 почти всюду на , но не сходится в .
- Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно[3].
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Дьяченко, Ульянов, 1998, с. 55 §13. Сходимость почти всюду.
- ↑ Математическая Энциклопедия, 1985, с. 313 Сходимость почти наверное.
- ↑ Дьяченко, Ульянов, 1998, с. 57 Теорема 13.2 (Пример Рисса).
Литература[править | править код]
- Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. — М.: «Факториал», 1998.
- Математическая Энциклопедия / И.М. Виноградов. — 1985. — Т. 5 (Случайная величина — Ячейка).