Экспонента: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
LGB (обсуждение | вклад) отмена правки 104535495 участника 95.27.41.160 (обс.) Метка: отмена |
Wisgest (обсуждение | вклад) →Свойства: уточнение (см. обсуждение) |
||
Строка 50: | Строка 50: | ||
* Комплексная экспонента — [[Целая функция|целая]] [[голоморфная функция]] на всей [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]]. Ни в одной точке она не обращается в ноль. |
* Комплексная экспонента — [[Целая функция|целая]] [[голоморфная функция]] на всей [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]]. Ни в одной точке она не обращается в ноль. |
||
* <math>e^z</math> — [[периодическая функция]] с основным периодом 2[[Π (число)|π]][[Мнимая единица|i]]: <math>e^{i\varphi}=e^{i(\varphi+2\pi)}</math>. В силу периодичности комплексная экспонента [[Многозначная функция|бесконечнолистна]]. В качестве её [[Максимальная область однолистности|области однолистности]] можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой <math>2 \pi</math>. |
* <math>e^z</math> — [[периодическая функция]] с основным периодом 2[[Π (число)|π]][[Мнимая единица|i]]: <math>e^{i\varphi}=e^{i(\varphi+2\pi)}</math>. В силу периодичности комплексная экспонента [[Многозначная функция|бесконечнолистна]]. В качестве её [[Максимальная область однолистности|области однолистности]] можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой <math>2 \pi</math>. |
||
* <math>e^z</math> — единственная функция, производная (а также соответственно и [[первообразная]]) которой совпадает с исходной функцией. |
* <math>e^z</math> — единственная с точностью до постоянного множителя функция, производная (а также соответственно и [[первообразная]]) которой совпадает с исходной функцией. |
||
* Алгебраически экспонента от комплексного аргумента <math>z=x+iy</math> может быть определена следующим образом: |
* Алгебраически экспонента от комплексного аргумента <math>z=x+iy</math> может быть определена следующим образом: |
||
*: <math>e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos \, y + i\sin \, y)</math> ([[формула Эйлера]]) |
*: <math>e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos \, y + i\sin \, y)</math> ([[формула Эйлера]]) |
Версия от 17:54, 10 февраля 2020
Экспоне́нта — показательная функция , где — число Эйлера .
Определение
Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:
или через предел:
Здесь — любое комплексное число.
Свойства
- , а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения с начальными данными . Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
- Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
- Экспонента — выпуклая функция.
- Обратная функция к ней — натуральный логарифм .
- Фурье-образ экспоненты не существует.
- Однако преобразование Лапласа существует.
- Производная в нуле равна , поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом .
- Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:
- .
- Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна , либо имеет вид , где — некоторая константа.
- , где и — гиперболические синус и косинус.
Комплексная экспонента
Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением , где есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты вещественного переменного :
Определим формальное выражение
.
Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции , то есть показать, что разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:
Сходимость данного ряда легко доказывается:
.
Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция всюду определена и аналитична.
Свойства
- Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
- — периодическая функция с основным периодом 2πi: . В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой .
- — единственная с точностью до постоянного множителя функция, производная (а также соответственно и первообразная) которой совпадает с исходной функцией.
- Алгебраически экспонента от комплексного аргумента может быть определена следующим образом:
- В частности, имеет место (тождество Эйлера),
- В частности, имеет место (тождество Эйлера),
Вариации и обобщения
Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.
Матричная экспонента
Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:
Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы Следовательно, экспонента от матрицы всегда определена и сама является матрицей.
С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение с начальным условием имеет своим решением
h-экспонента
Введение -экспоненты основано на втором замечательном пределе:
При получается обычная экспонента[1].
Обратная функция
Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается :
См. также
Литература
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
- Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.
Ссылки
- «Экспонента и число е: просто и понятно» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (англ.)