Предел вдоль фильтра

Предел вдоль фильтра (предел по базису фильтра, предел по базе) — обобщение понятия предела.

Определение фильтра

Основная статья: Фильтр (математика)

Пусть дано множество $X.$ Непустая система ${\mathfrak {B}}$ подмножеств множества $X$ называется базисом фильтра (базой) множества $X$, если

• для любого $B\in {\mathfrak {B}}$ выполнено $B\neq \varnothing ;$
• для любых $B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}$ существует $B_{3}\in {\mathfrak {B}}$ такое, что $B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}.$

Определение предела

Везде далее ${\mathfrak {B}}$ — базис фильтра (база) множества $X$.

Предел числовой функции

Пусть $f:X\to \mathbb {R}$. Число $A\in \mathbb {R}$ называется пределом функции $f$ по базе ${\mathfrak {B}},$ если

для любого $\varepsilon >0$ существует $B\in {\mathfrak {B}}$ такое, что для всех $x\in B$ выполнено неравенство $|f(x)-A|<\varepsilon .$

Обозначение предела по базе: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=A.$

Предел функции со значениями в метрическом пространстве

Пусть $(M,\rho )$ — метрическое пространство и $f:X\to M$. Точка $a\in M$ называется пределом функции $f$ по базе ${\mathfrak {B}},$ если

для любого $\varepsilon >0$ существует $B\in {\mathfrak {B}}$ такое, что для всех $x\in B$ выполнено неравенство $\rho (f(x),a)<\varepsilon .$

Обозначение: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.$

Предел функции со значениями в топологическом пространстве

Пусть $(M,{\mathcal {T}})$ — топологическое пространство и $f\colon X\to M$. Точка $a\in M$ называется пределом функции $f$ по базе ${\mathfrak {B}},$ если

для любой окрестности $V$ точки $a$ существует $B\in {\mathfrak {B}}$ такое, что $f(B)\subset V$, то есть для всех $x\in B$ выполняется включение $f(x)\in V$.

Обозначение: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.$

Замечание. Последнее «равенство» корректно использовать лишь в случаях, когда пространство $(M,{\mathcal {T}})$ — хаусдорфово. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).

Примеры

Обычный предел

Пусть $(X,{\mathcal {T}})$ — топологическое пространство, и $M\subset X.$ Пусть $a\in M'.$ Тогда система множеств

${\mathfrak {B}}=\left\{M\cap {\dot {U}}\equiv M\cap U\setminus \{a\}\mid a\in U\in {\mathcal {T}}\right\}$

является базисом фильтра множества $M$ и обозначается $M\ni x\to a$ или просто $x\to a.$ Предел функции по базе $x\to a$ множества $M$ называется пределом функции в точке $a$ и обозначается записью $\lim \limits _{x\to a}f(x)$.

Односторонние пределы

Основная статья: Односторонние пределы

• Пусть $M\subset \mathbb {R} ,$ и $a\in {\bigl (}M\cap (a,\infty ){\bigr )}'.$ Тогда система множеств

${\mathfrak {B}}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}$

является базисом фильтра и обозначается $x\to a+$ или $x\to a+0.$ Предел $\lim \limits _{x\to a+}f(x)$ называется правосторонним пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к $a.$

• Пусть $M\subset \mathbb {R} ,$ и $a\in {\bigl (}M\cap (-\infty ,a){\bigr )}'.$ Тогда система множеств

${\mathfrak {B}}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}$

является базисом фильтра и обозначается $x\to a-$ или $x\to a-0.$ Предел $\lim \limits _{x\to a-}f(x)$ называется левосторонним пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к $a.$

Пределы на бесконечности

Основная статья: Пределы функции на бесконечности

• Пусть $M\subset \mathbb {R} ,$ и $\sup M=\infty .$ Тогда система множеств

${\mathfrak {B}}=\{M\cap (T,\infty )\mid T\in \mathbb {R} \}.$

является базисом фильтра и обозначается $x\to \infty$ или $x\to +\infty .$ Предел $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)$ называется пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к бесконечности.

• Пусть $M\subset \mathbb {R} ,$ и $\inf M=-\infty .$ Тогда система множеств

${\mathfrak {B}}=\{M\cap (-\infty ,T)\mid T\in \mathbb {R} \}.$

является базисом фильтра и обозначается $x\to -\infty .$ Предел $\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)$ называется пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Система множеств ${\mathfrak {B}}=\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty },$ где

$B_{n}=\{n,n+1,n+2,\ldots \}\quad n\in \mathbb {N} ,$

является базисом фильтра и обозначается $n\to \infty .$ Функция $n\in \mathbb {N} \mapsto f_{n}\in \mathbb {R}$ называется числовой последовательностью, а предел $\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}$ пределом этой последовательности.

Интеграл Римана

Основная статья: Интеграл Римана

Пусть $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ Назовём размеченным разбиением отрезка $[a,b]$ пару $T=(\{a=x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}=b\},\{\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}\}),$ такую, что $\forall i\in \{1,\cdots ,n\}\ \ x_{i-1}<x_{i}\land \xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}].$ Назовём диаметром разбиения $T$ число $d(T)=\max \limits _{i\in \{1,\ldots ,n\}}(x_{i}-x_{i-1}).$ Тогда система множеств ${\mathfrak {B}}=\{B_{\delta }\}_{\delta >0},$ где

$B_{\delta }=\{T\in {\mathfrak {T}}\mid d(T)<\delta \}$

является базисом фильтра в пространстве ${\mathfrak {T}}$ всех размеченных разбиений $[a,b].$ Определим функцию $S_{f}:{\mathfrak {T}}\to \mathbb {R}$ равенством

$S_{f}(T)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1}),\quad T\in {\mathfrak {T}}.$

Тогда предел $\lim \limits _{\mathfrak {B}}S_{f}(T)$ называется интегралом Римана функции $f$ на отрезке $[a,b].$

Литература

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах), — М.: Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.