Нётерово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Нётерово простра́нство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств[1][2]. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств пространства X такой, что:

существует целое число r, что

Это условие эквивалентно тому, что каждое подмножество компактно.

Эквивалентные определения

[править | править код]

Топологическое пространство называется нётеровым, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:

  • Хаусдорфово пространство нётерово тогда и только тогда, когда оно конечное (и при этом оно будет дискретным)[3].
  • Каждое подпространство пространства Нётер снова является пространством Нётер[1][3].
  • Если пространство можно покрыть конечным числом нётеровых подпространств, то само нётерово[1].
  • Нётерово пространство представимо в виде объединения конечного числа своих неприводимых компонент[1][2].

Нётеровы пространства часто встречаются в алгебраической геометрии.

есть убывающая последовательность замкнутых множеств, то:

является возрастающей последовательностью идеалов ( обозначает идеал полиномиальных функций, равных нулю в каждой точке ). Поскольку является кольцом Нётер, существует целое число , такое что:

Учитывая однозначное соответствие между радикальными идеалами и замкнутыми (в топологии Зарисского) множествами выполняется для всех i. Поэтому:

  • Примерами нётеровых пространств является спектры коммутативных колец. Если  — кольцо Нётер, то пространство (спектр ) является нётеровым[1].

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Кузьмин Л. В. . Мёбиуса ряд // Математическая энциклопедия. Т. 3 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1982. — 1184 стб. — Стб. 1028.
  • Хартсхорн Р. . Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.